Kostenfunktionen Jahrgangsstufe 12?

Question

Halloo.. Ich habe eine Mathehausaufgabe auf die ich nicht verstehe, mein Lehrer konnte uns letzte Stunde auch selbst keinen Ansatz geben.
Darum dachte ich mir, hier kann mir bestimmt ein kluges Köpfchen helfen & mir das bestimmt auch noch Schritt für Schritt erklären ;)

Die Kostenfunktion eines Betriebes gibt die Produktionskosten K(x) in Abhängigkeit von der produzierten Menge x an. Es sei K(x)=0,01x³ - 3x² + 320x + 8000. Eine Mengeneinheit wird für 355euro verkauft.

a) Bei welchen produktionszahlen macht die Firma gewinn?
b) Für welchen Wert ist der Gewinn maximal?

Danke schonmal :)

Lara · Accepted Answer

als erstes stellst du eine umsatzfunktion auf:
U(x)= 355x
dann eine gewinnf.:
G(x)=U(x)-K(x)
= -0.01x^3-3x^2+35x-8000

dann berechnetst du die nullstellen:

G(x)=0 (hab ich jetzt mit dem taschenrechner gemacht)
x1=-52
x2=50
x3=302.82 (gerundet)

setze werte zwischen diesen in G(X) ein und guck ob das ergebniss positiv ist.

zb G(3)=-7868.27 (gerundet)
G(100)=15500
G(305)= -(7905/4)


du erhälst einen gewinnbereich von 
50<x<302.83

für b berechnest du die extremstellen. dafür brauchst du die beiden ersten ableitungen
G'(x)=-0.03x^2+6x+35
G''(x)=-0.06x+6

notwendige bedingung:
G'(x)=0
(taschenrechner nullstellenbestimmung)
x= 205.6724499

heinreichende bedingung:
G'(x)=0 ^ G''(x)ungleich0

G''(205.6724499)= (einsetzen) -6.34 (gerundet) --> maximum

y-wert ausrechnen

Kostenfunktionen Jahrgangsstufe 12?

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