Bestimmen sie die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks?

Question

So lautet eine Aufgabe die ich lösen muss, aber zur Zeit noch nicht ganz verstehe. ZUr Aufgabe gibt es 3 Unterpunkte
a) Über eine Vektorkette
b) Über die Formel  OS=(OA+OB+OC):3
c)Leiten sie diese Formel her!

Dann haben wir noch die 3 Punkte A(-1/2/3)
                                                  B(-2/6/0)
                                                   C(3/4/6)
Der Punkt O liegt ausserhalb des Dreiecks, hat aber keine Koordinaten(Muss ich diese dann selbst feststellen?!)

Ich würde mich riesig freuen, wenn mir jemand anschaulich erklären könnte wie man das berechnen muss.

Tom · Accepted Answer

Der Punkt O ist immer der Koordinatenursprung und hat 
die Koordinaten O(0|0). Da das jeder! weiß, wird das nicht 
explizit hingeschrieben. Mathematiker schreiben nämlich 
nicht gern viel, sie rechnen lieber! 
Wo dieser Koordinatenursprung liegt, kann uns auch egal 
sein, da der Schwerpunkt eines Dreiecks bei Bewegung des 
Dreiecks zwar mitbewegt wird, aber seine Lage bezüglich der 
Eckpunkte des Dreiecks invariant bleibt.

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt 
der Seitenhalbierenden. 

Zeichne Dir ein Dreieck mit seinen Seitenhalbierenden 
und Bezeichne die Eckpunkte mit A, B bzw. C, die 
Mittelpunkte der Seiten mit M(AB), M(BC) bzw. M(AC) und 
den Schwerpunkt mit S. Dann siehst Du besser durch. 

Die Koordinaten von M(AB) sind nun 
M(AB)[(xA+xB)/2|(yA+yB)/2|(zA+zB)/2], 
die von M(BC) sind 
M(BC)[(xB+xC)/2|(yB+yC)/2|(zB+zC)/2] 
und die von M(AC) sind 
M(AC)[(xA+xC)/2|(yA+yC)/2|(zA+zC)/2]. 

Ungefähr in der Zeit der 6. Klasse hast Du mal gelernt, 
dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilen. 

Das können wir jetzt verwenden:

OS = OA + (2/3)*AM(BC)

= (xA|yA|zA) + (2/3)*[(xB+xC)/2-xA|(yB+yC)/2-yA|(zB+zC)/2-zA]

= (1/3)*(3xA|3yA|3zA) + (1/3)*[xB+xC-2xA|yB+yC-2yA|zB+zC-2zA]

= (1/3)*[xA+xB+xC|yA+yB+yC|zA+zB+zC]

= [(xA+xB+xC)/3|(yA+yB+yC)/3|(zA+zB+xC)/3]
===================================

=> Ach das war ja schon c)!

Nun zu a): 

M(BC)[0.5|5|3] (Siehe Formel oben!)
OS = OA + (2/3)*AM(BC) 
= (-1|2|3) + (2/3)*(0,5|3|0)
= (-1|2|3) + (1|2|0)
= (0|4|3)
=======

zu b) 

OS = ((-1|2|3) + (-2|6|0) + (3|4|6))/3 
= (0|4|3)
========

Bestimmen sie die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks?

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