Grenzwerte - Richtig oder Falsch?

Question

Hallo liebe Clever Freunde :)
ich habe ein ganz großes Problem!
Ich schreibe in 2 Tage meine erste Mathe Leistungskurs Klausur und ich bin garde voll dabei mich vorzubereiten. Dabei bin ich auf eine mir unlösbare Aufgabe gestoßen... wahrschienlich ist sie garnicht so schwer, aber ich komme einfach nicht auf die Antworten!
die Frage ist: Welche dieser Aussagen  sind wahr und welche falsch? Handelt es sich um eine falsche Aussage, so geben sie ein Gegenbeispiel!

a) Die Summenfolge zweier konvergenter Folgen ist ebenfalls konvergent.
b) Die Differenzenfolge zweier divergenter Folgen ist ebenfalls konvergent.
c) Die Summenfolge zweier divergenter Folgen kann konvergent sein.
d) eine konstante Folge hat stets einen Grenzwert.
e) Die Glieder einer konvergenten Folge nähern sich dem Grenzwert g zwar beliebig dicht, erreichen ihn aber niemals.
f) Ist die Folge (an) konvergent, so ist stehts auch die "Kehrwertfolge" (bn) =  1/ (an) konvergent.
g) Eine Folge mit positiven Gliedern, die von Glied zu Glied einen kleinerern Wert annimmt, hat den Grenzwert null.
 
Ich würde mich sehr, sehr doll über hilfreiche Antworten freuen!
Dankeschön im Vorraus!

Wurzelgnom · Accepted Answer

a) Ja
b) Die Differenzfolge zweier divergenter Folgen kann alles Mögliche sein
c) Ja
d) Ja
e) Nein
f) Nein
g) Nein

a) Beweis:
Wenn lim(an) = a und lim(bn) = b, so lim (an+bn) = a+b, denn
Sei €>0 beliebig vorgegeben.
So wähle ich €1 = €2 = €/2 und bestimme für (an) das zugehörige no1 und für (bn) das zugehörige no2.
Ab no = max(no1; no2) liegen alle Glieder der Folge (an + bn) in der €-Umgebung von (a + b)

b) Beispiele:
(n) divergiert bestimmt gegen + oo
(2n) divergiert bestimmt gegen + oo
(n - 2n) = ( - n) divergiert bestimmt gegen - oo

[( - 1)^n] divergiert unbestimmt mit den Häufungspunkten - 1 und 1
[(- 1)^(n+1)] divergiert ebenfalls unbestimmt mit den Häufungspunkten - 1 und 1
[(-1)^n - (-1)^(n+1)] divergiert unbestimmt mit den Häufungpunkten - 2 und 2

[(- 1)^n] divergiert unbestimmt mit den Häufungspunkten - 1 und 1, aber
[( - 1)^n - ( - 1)^n] ist die konstante Folge (0)

[(-1)^n + 1/n] ist unbestimmt divergent
[(- 1)^n + 3 ist unbestimmt divergent
[(-1)^n + 1/n - ( - 1)^n - 3] konvergiert gegen 3

c) 
(n) ist bestimmt divergent gegen +oo
( - n) ist bestimmt divergent gegen - oo
Die Summe (n - n) = (0) ist eine konstante Nullfolge

d) Ja, denn alle Glieder liegen in jeder €-Umgebung dieser Konstanten

e) Jede konstante Folge ist ein Gegenbeisiel, aber auch Folgen wie:
[ (1/2)^n + ( - 1/2)^n] ist Nullfolge. Jedes zweite Glied ist 0.

f) Gegenbeispiel:
(1/n) -> 0 (konvergiert gegen 0), aber [1/(1/n)] = (n) divergiert gegen + oo

g) Gegenbeispiel:
[(n+1)/n] ist streng monoton fallend und konvergiert gegen 1

🐟 Fish 🐟 · Answer

a) wahr
b) falsch (kann konvergent oder divergent sein)
c) wahr
d) wahr (das ist die definition einer konvergenten Folge)
e) wahr (aber nur wenn g der Grenzwert dieser folge ist ;-))+
f) falsch (Wenn der Grenzwert der folge an 0 ist dann ist bn divergent
g) wahr ( kann man sicher auch beweisen. VollstÃ¤ndige induktion wÃ¼rd ich sagen)

Grenzwerte - Richtig oder Falsch?

2 Antworten