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Anwendung der Integralrechnung?
Ich komme bei dieser Aufgabe absolut nicht zurecht. Bitte um Hilfe! :(
Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung, hat ein Maximum bei x=Wurzel aus 3 und schließt im ersten Quadranten mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 9/4 ein. Um welche Funktion handelt es sich?
1 Antwort
- Zac ZLv 7vor 1 JahrzehntBeste Antwort
Hallo allanax!
Die Vorangehensweise ist die übliche, es geht darum genügend Gleichungen zu finden.
Für eine ganzrationale Funktion 3. Grades braucht man vier Gleichungen. (Immer eine Gleichung mehr als Grade.)
- Die erste Gleichung bekommst du über die Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x)
- Eine weitere Gleichung gibt es aus der Info über das Maximum: f'(√3) = 0
- Eine dritte Gleichung kannst du mit dem bestimmten Integral aufstellen, das 9/4 ergibt.
- Außerdem wissen wir, dass f''(√3) < 0 gilt, aber hilft uns nur bedingt weiter.
Es fehlt also eine Gleichung und das Integral ist auch schwierig zu bestimmen, weil die Grenze nicht genau bekannt sind. Darauf komme ich gleich zurück.
Wo bekommt man jetzt die vierte Gleichung her?
Nun, man kann durch verschiedene Überlegungen zu der Erkenntnis kommen, dass eine ganzrationale Funktion 3. Grades, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, auch durch den Ursprung geht! Mit der Koordinate (0|0) kann man dann die vierte Gleichung aufstellen.
Eine Möglichkeit, wie man auf die Koordinate (0|0) kommen kann, ist folgende Überlegung:
Es sollte bekannt sein, dass eine ganzrationale Funktion 3. Grades entweder eine oder drei Nullstellen hat. Da eine beliebige Nullstelle durch die Symmetrie automatisch im selben Abstand vom Ursprung auf der anderen Seite generiert wird (z.B. erzeugt eine Nullstelle bei +4 gleichzeitig eine bei -4), kann eine ungerade Zahl von Nullstellen nur dadurch existieren, dass eine Nullstelle im Ursprung selbst liegt, der auf sich selbst gespiegelt wird.
Zur Koordinate (0|0) kann man noch nur andere Überlegungen kommen, aber ich belasse es einmal bei dieser einen Erklärung.
Mit der Kenntnis, dass die Funktion durch den Ursprung geht, bekommt man gleichzeitig die Grenzen des bestimmten Integrals. Dieses muss dann nämlich von 0 bis zur positiven Nullstelle aufgestellt werden.
Jetzt sollte der Bestimmung der Funktion nicht mehr im Wege stehen! :-)
Versuche doch einmal, ob du die Funktion herausbekommst. Falls du nicht weiterkommst, kannst du dich gerne nochmal melden.
Gruß,
Zac