Hilfe bei schwerer Frage über Primzahlen?

Zunächst einmal kann man die zulässigen Primzahlen p stark einschränken:

Es ist entweder p = 3, p = 3 i + 1 oder p = 3 i + 2 für geeignete ganze Zahlen i (Aufteilung nach Restklassen modulo 3).

Wenn p = 3 ist, dann ist auch p^2+2 = 11 eine Primzahl.

Wenn p = 3 i + 1, dann ist p^2 + 2 = (3i + 1)^2+2 = 9i^2 + 6i + 3 was offensichtlich durch 3 teilbar ist.

Ebenso bei p = 3 i + 2, denn p^2+2 = 9i^2 + 12i + 6.

Da in diesen beiden Fällen p^2+2 nicht gleich 3 sein kann (da 1 keine Primzahl ist), kann hier p^2+2 keine Primzahl sein. Bleibt also nur p = 3.

Man soll also alle n=1,5,9,13,... finden, so dass 3^n+2 eine Primzahl ist (ich vermute, dass du dies und nicht p^(n+2) meinst).

Setze dazu zunächst n=4j+1 mit ganzem nichtnegativem j. Dann ist 3^n+2 = 3*81^j + 2.

(Ab hier ist mir auf die Schnelle kein eleganter Weg eingefallen. Vielleicht kannst du mit ein bisschen Nachdenken einen finden).

Das betrachte nun modulo 10 (d.h. nur die Einerstelle im Dezimalsystem). 81^j ist modulo 10 gleich 1 (sieht man leicht mit schriftlicher Multiplikation oder exakter mit Binomischem Lehrsatz). Also ist 3*81^j modulo 10 gleich 3 und 3*81^j + 2 ist modulo 10 gleich 5.

Also ist 3^n+2 eine Zahl die (in Dezimaldarstellung) auf 5 endet, also durch 5 teilbar ist. Sie ist also nur dann Primzahl, wenn sie selbst gleich 5 ist.

D.h. 3^n+2 = 5 oder n = 1.

Also ist die einzige Lösung (p = 3 und) n = 1.

EDIT:

i und j sind irgendwelche ganze Zahlen. modulo ist in etwa der mathematische Fachbegriff für den Rest bei einer Division (10 ist modulo 3 gleich 1, da 10 = 3*3 + 1).

Ein bisschen ausführlicher:

Am Anfang teile ich alle Primzahlen auf in diejenigen mit Rest 0, Rest 1 und Rest 2 bei Division durch 3.

Die mit Rest 0 sind Vielfache von 3; davon ist nur 3 Primzahl.

Die mit Rest 1 lassen sich als p=3i+1 schreiben (mit irgendeiner natürlichen Zahl i). Damit zeige ich, dass dann p^2+2 keine Primzahl sein kann, also kann p nicht den Rest 1 bei Division durch 3 haben.

Dasselbe gilt auch bei Rest 2 (also p = 3i+2).

Weiter unten in der Rechnung ist die Vorgehensweise ähnlich: Die Zahlen n=1,5,9,13,... lassen sich alle als n=4j+1 schreiben, wobei j die nichtnegativen ganzen Zahlen durchläuft. Das hat den Vorteil, dass man sich keine Gedanken mehr über das j machen muss und so zusammenhänge besser sichtbar werden (die Eigenschaft "Rest 1 bei Division durch 4) wird sozusagen in die Formel n=4j+1 codiert).

Zum Detail:

modulo ist die Bezeichnung für einen Rest bei einer Division:

44 = 0 mod 11 , aber 44 = 8 mod 12

Also sollen 3 Bedingen erfüllt sein ? p, p^2+2 und p^n+2 sollen prim sein, wobei n = 1 mod 4 ist ?

Es kommt nur p=3 infrage, da alle anderen Primzahlen p^2+2 = 0 mod 3 sind.

Es ist zu prüfen ob 3^(4k+1)+2 = prim ist.

Es gilt für k=0 (n=1) , alle anderen k haben den Teiler 5 für 3^(4k+1)+2.

Eine Lösung gibts. p=3 und n=1

Wegen der 3 :

2^2+2 kann keine sein.

Alle Primzahlen außer 2,3 sind der Form 6k+1 oder 6k+5

Deshalb ist :

(6k+1)^2+2=36k^2+12k+1+2 = 3 ( 12k^2+4k+1 ) , also durch 3 immer teilbar

und

(6k+5)^2+2=36k^2+60k+25+2 = 3 ( 12k^2+20k+9 ) , also durch 3 immer teilbar

Wegen der 5 bei 3^(4k+1)+2 :

Es gilt für jedes k bei 4k+1 = 1 mod 4

Und 3^1 +2 = 5 und 5 ist immer Rest 0 mod 5.

Das hängt mit dem Fermatsatz zusammen ( a^(p-1)=1 mod p )

z.B. ist 5^6 -1, 5^12 -1, 5^18 -1 ,....immer durch 7 teilbar

Dennoch sollte der Vorgänger bevorzugt werden!