Kann mir jemand den genauen Rechenweg schreiben/ erklären?

Hallo, du Ex-Schülerin! ;-)

Ich könnte mir vorstellen, dass es mathematische Verfahren gibt, mit denen man diese Aufgabe ganz schnell lösen kann, aber mir sind sie -falls es sie gibt- nicht bekannt.

Daher muss ich mich mit dem Beweis etwas mehr abmühen.

Ich bin bei Aufgabe a) so vorgegangen:

Zuerst einmal habe ich alle Rauminhalte der Einzelwürfel addiert:

7³ + 5 * 4³ + 5 * 3³ + 6 * 2³ + 12 * 1³ = 858

[Alle Rauminhalte sind in cm³; ich werde die Einheiten aber im folgenden weglassen, weil sie unerheblich sind.]

Der Rauminhalt eines Quaders, der aus allen oben genannten Einzelwürfeln besteht, muss genauso groß sein.

Das Volumen eines Quaders berechnet sich bekanntlich mit: V_Q = a * b * c; wobei a, b und c die jeweiligen Kantenlängen des Quaders sind.

Da alle Würfel ganze Zahlen als Kantenlänge haben (also keine Kommazahlen), müssen auch die Kantenlängen des Quaders ganze Zahlen sein, denn diese werden ja durch aneinander gelegte Würfel gebildet.

Wir suchen daher Kombinationen ganzer Zahlen, deren jeweiliges Produkt 858 ist. Diese Zahlenkombinationen kommen dann als Quaderkantenlänge in Frage.

Dazu machen wir eine Primfaktorenzerlegung von 858 und bekommen folgendes heraus:

858 = 2 * 3 * 11 * 13

[Wenn du mit dem Begriff "Primfaktorenzerlegung" nichts anfangen kannst, dann sag Bescheid, ich kann das gerne noch erklären.]

Wir haben insofern Glück, dass wir mit 4 Faktoren sowieso nicht sehr viele Kombinationen für die drei Quaderkanten haben. In jedem Fall wird es so sein, dass zwei der vier Zahlen jeweils eine Kantenlänge ergeben und das Produkt der beiden verbleibenden die dritte Kantenlänge.

Mit Hilfe der Kombinatorik kann man die Anzahl der möglichen Kantenkombinationen ermitteln (es sind 6), aber das brauchen wir eigentlich gar nicht.

Man kann nämlich sehen, dass die kleinste Kantenlänge entweder 2, 3 oder 6 (= 2 * 3) sein muss.

Leuchtet dir diese letzte Aussage ein? Wenn nicht, sage Bescheid, denn das ist die Lösung des Rätsels!

Weil jetzt einer der Einzelwürfel mit der Kantenlänge 7 größer ist als 2, 3, oder 6, würde er in allen möglichen Kombinationen aus dem Quader herausragen. Deshalb kann es keinen vollständigen Quader mit den gegebenen Einzelwürfeln geben.

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Bei Aufgabe b) hat man wieder denselben Rauminhalt (858), diesmal hat der größte Würfel aber nur eine Kantenlänge von 6. [Wieder alles in cm bzw. cm³.]

Mit denselben Überlegungen wie bei a) kann man schließen, dass der einzige mögliche Quader die Maße 6 x 11 x 13 haben muss.

Für den Rest habe ich mir die Raumverteilung angeschaut.

Ich habe mir ein kariertes Blatt genommen (OK, in Wirklichkeit habe ich eine Excel-Tabelle benutzt...) und ein Rechteck mit den Maßen 11 x 13 markiert.

Das ist eine Seitenansicht des Quaders, wobei jedes Kästchen genau 6 hoch ist.

Eine Ecke nimmt der Würfel mit Kantenlänge 6 ein - in unserer Darstellung ein Quadrat.

Um dieses Quadrat herum bleibt ein L-förmiger Rand, der an der einen Seite 5 und an der anderen 7 breit ist.

Wir haben acht Würfel mit Kantenlänge 4. Diese müssen alle in eine Ebene passen, denn übereinander gestapelt, wären sie 8 hoch.

Wenn man die acht Würfel in ihrer Quadratdarstellung nun in die L-förmige Fläche einpassen möchte, merkt man, dass maximal vier davon hineinpassen - drei an der längeren (3 * 4 = 12) und zwei an der kürzeren (2 * 4 = 8) Seite. (Dabei zählt man das Eckquadrat natürlich doppelt, es passen wirklich nur vier Quadrate in das L.)

Daraus folgt, dass man auch mit dem zweiten Satz Würfeln keinen vollständigen Quader zusammenbauen kann. :,-(

Gruß,

Zac

Ihr habts doch im Unterricht durch genommen. Also wirstes ja können. Wenn nicht, frag deine Mitschüler.