Comment trouver une matrice A 3x3 telle que A²≠0 mais A³=0 ?

il s'agit des matrices nilpotentes. Un exemple de matrice 3x3 telle que A² ≠ 0 et A³ = 0 est donné dans le wikipedia sur les matrices nilpotentes (voir source plus bas)

plus généralerment, pour répondre à la deuxième question en même temps, soit p l'indice de nilpotence de A:

k est une valeur propre de A implique qu'il existe un vecteur propre X tel que A.X = k.X

Mais alors A^p.X = k^p.X = 0 puisque par définition de p, A^p = 0

Or, k^p.X = 0 implique k = 0

Donc une matrice nilpotente n'admet que zéro comme valeur propre. La matrice A est donc semblable à une matrice triangulaire (toute matrice de l'espace Mn(C) des matrices carrées à coefficents complexes est trigonalisable) dont la diagonale est constituée de zéros (seule valeur propre de A). Il vient que le polynôme caractéristique de A est celui de la matrice triangulaire précédente, il est donc égal à

P(X) = -X³

Le théorème de Cayley-Hamilton nous assure que P(A)=0 c'est à dire que A³ = 0.

(0,1,1)

(0,0,1)

(0,0,0) est nilpotente d'ordre 3.

(0,1,1,1)

(0,0,1,1)

(0,0,0,1)

(0,0,0,0) est nilpotente d'ordre 4.

010

001 = A

000

001

000 = A²

000

000

000 = A³

000

Rappel : dim A =3

si A³ = 0 ===> les valeurs propres sont nulles

les matrices An,n triangulaires supérieur ou inférieurs sont nilpotentes de tel sorte que A^n = 0

cette propriété est très sympathique pour le calcul des puissances ou même de l'exponentiel d'une matrice carré trigonalisable

Bah justement, moi j'aurai fait comme tu dis A=(a b c...), et tu procèdes par identifications... Une matrice est égale à une autre ssi ses composantes sont toutes égales et tu pars sur des systèmes d'équations.

C'est un peu bourrin, mais ça marche niquel je pense.