t³ +1 in Linearfaktoren zerlegen?

Question

Hallo,

die Aufgabenstellung lautet eigentlich, die Funktion  
(ln^4(x)  - 1) / (x*(ln^3(x) +1) ) 
zu integrieren, indem man sie über Substitutionen auf eine rationale Funktion bringt. Das habe ich auch gemacht mit    
t=ln(x) => e^t = x      und  
dt/dx = 1/x  => dx = x*dt = e^t *dt 
reduziert sich das Ganze auf 
(t^4 -1) / (t^3 +1). 
Diesen Ausdruck bringt man mittels Polynomdivision auf 
t + (t + 1)/(t^3 + 1). 
Nun will ich eine Partialbruchzerlegung durchführen mit 
(t + 1)/(t^3 + 1). 
Allerdings sehe ich nicht, wie sich der Nenner in Linearfaktoren zerlegen lässt, obwohl das ja nach dem Fundamentalsatz der Algebra möglich sein müsste. Eine Nullstelle ist -1, aber wie sich das faktorisieren ließe damit, sehe ich nicht. Auch mit komplexen Nullstellen finde ich keinen Ansatz, deswegen hatte ich gehofft, dass mir hier jemand einen Tipp geben kann.

                                                                                          Danke schonmal im Voraus.

dr. jekyll · Accepted Answer

Natürlich ist t = - 1 eine Nullstelle, denn ( - 1)³ + 1 = - 1 + 1 = 0

Also kann man (t³ + 1) durch (t + 1) teilen.

(t³ + 0*t² + 0*t + 1):(t + 1) = t² - t + 1
(t³ + t²
----------
......- t² + 0*t
.......(- t² - t)
.......------------
...............t + 1
..............(t + 1)
............-----------
....... Rest 0

t² - t + 1 hat nur noch komplexe Nullstellen.
Es gilt:
t² - 1 + 1 = [t - (1 - wurzel(3)i/2]*[t - (1 + wurzel(3)i)/2]

Anonym · Answer

Wenn du eine Nullstelle hast, hast du auch einen Linearfaktor. Wende dann einfach noch einmal eine Polynomdivision an. WÃ¤re jetzt mein Vorschlag.

Wenn die Nullstelle -1 ist, mÃ¼sste der Linearfaktor (t + 1) sein (also noch einmal).

t³ +1 in Linearfaktoren zerlegen?

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