Ganzrationale Funktion dritten Grades?

Question

Bestimme eine ganzrationale Funktion dritten Grades so, dass für den Graphen der Funktion gilt:
W (1 I 2/3 ) ist Wendepunkt des Graphen von f, die zgehörige Wendetangente hat die Steigung -2, an der 3 liegt ein relativer Extrempunkt.

f  (x) = ax^3+bx²+cx+d
f '(x) = 3ax²+2bx+c
f ''(x) = 6ax+2b

Ich komme nicht weiter.
Wer möchte mir gerne helfen? Ich würde mich über Rechenschritte, die nachvollziehbar sind sehr freuen.

Vielen Dank im Voraus.

Zac Z · Accepted Answer

Hallo Eva,

um eine Funktion dritten Grades eindeutig zu bestimmen, brauchst du 4 Gleichungen. Damit kannst du die vier Unbekannten (a bis d) ermitteln.

Eine Gleichung bekommst du durch die Koordinate (1I2/3).
Das geht so:
f(1) = 2/3
a*1³ + b*1² + c*1 + d = 2/3
a + b + c + d = 2/3

Jetzt kannst du eine Unbekannte durch drei andere ausdrücken und in die weiteren Gleichungen einsetzen.
Z.B. a = 2/3 - b - c - d

Im konkreten Fall empfiehlt es sich allerdings, die anderen Gleichungen als Ausgangspunkt zu nehmen, da durch die Ableitungen Koeffizienten wegfallen und du dadurch weniger Arbeit hast. Prinzipiell ist es aber egal. Letztlich bekommst du ein lineares Gleichungssystem für 4 Unbekannte.

Die weiteren Gleichungen bekommst du durch die anderen Infos.
Wenn W ein Wendepunkt ist, ist die zweite Ableitung dort gleich Null.
Es gilt also f''(1) = 0
Das ist deine zweite Gleichung.

Die Steigung in diesem Punkt (= Ableitung) ist -2, d.h. es gilt f'(1) = -2
Das ist deine dritte Gleichung.

Bei x = 3 ist ein Extremwert (so interpretiere ich deinen letzten Halbsatz).
Bei Extremwerten ist die 1. Ableitung dort gleich Null.
Es gilt also f'(3) = 0
Das ist deine vierte Gleichung.


Edit:
OK, rechnen wir das mal durch.
Ich fange mit der 2. Gleichung an, weil es so am einfachsten ist:
f''(1) = 0
6a*1 + 2b = 0
(I) b = -3a

Weiter geht's mit der 3. Gleichung:
f'(1) = -2
3a*1² + 2b*1 + c = -2
(I) eingesetzt:
3a - 6a + c = -2
(II) c = 3a - 2

Und schon wartet die 4. Gleichung voller Ungeduld:
f'(3) = 0
3a*3² + 2b*3 + c = 0
27a + 6b + c = 0
(I) und (II) eingesetzt:
27a - 18a + (3a - 2) = 0
12a = 2
a = 1/6

Aus (I) und (II) bekommen wir damit:

b = -1/2
c = -3/2

Das noch fehlende d liefert die noch unbenutzte 1. Gleichung:
a + b + c + d = 2/3 [Herleitung weiter oben]
1/6 - 1/2 - 3/2 + d = 2/3
d = 5/2


Die gesuchte Funktion ist also:
f(x) = 1/6 x³ - 1/2 x² - 3/2 x + 5/2
f'(x) = 1/2 x² - x - 3/2
f''(x) = x - 1

Proben:
f(1) = 1/6 - 1/2 - 3/2 + 5/2 = 2/3
f'(1) = 1/2 - 1 - 3/2 = -2
f'(3) = 9/2 - 3 - 3/2 = 0
f''(1) = 1 - 1 = 0

W liegt auf der gesuchten Funktion und alle Bedingungen sind erfüllt!  :-D

Kiwi · Answer

Hey,

du bist hier im falschen Forum. 
Bei Mathefragen wende dich besser an www.onlinemathe.de oder einen Nachhilfelehrer. 
Das Forum hat mir persÃ¶nlich beim Lernen fÃ¼r's Abi geholfen - da bekommst du kompetentere Hilfe als hier.
lG

Andy · Answer

Hallo Eva,

um eine ganzrationale Funktion dritten Grades zu bestimmen, braucht man 4 Informationen, bzw. 4 Punkte (es gibt ja 4 Unbekannte a, b, c, d - 4 Gleichungen).

Diese 4 Informationen holt man aus dem Text:
W (1 I 2/3 ) ist Wendepunkt des Graphen von f
Das bedeutet man hat 
1. Der Funktionswert 2/3 ist an der Stelle 1
2. An der Stelle 1 ist die 2.Ableitung =0

Die zgehÃ¶rige Wendetangente hat die Steigung -2
Das bedeutet man hat 
3. An der Stelle 1 (Wendestelle ) ist der Funktionswert der 1.Ableitung = -2

An der 3 liegt ein relativer Extrempunkt
Das bedeutet man hat
4. An der Stelle 3 ist der Funktionswert der 1.Ableitung =0

Damit hat man 4 Punkte und man kann nun das linesre Gleichungssystem aufstellen.

Ich denke mit diesen Informationen, mÃ¼sstest Du zurecht kommen.
Wenn irgendetwas unklar ist, kannst Du ja noch einmal nachfragen.
Viel SpaÃ noch...

GruÃ

Ganzrationale Funktion dritten Grades?

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