Frage zu Funktionsgleichungen!?

Hallo,

ich stimme Zac Z zu:

Eine lineare Funktion ist eindeutig mit GENAU zwei Punkten/Informationen zu bestimmen.

f(x) = mx + b

Eine quradatische Funktion ist mit GENAU drei Punkten/Informationen zu bestimmen.

f(x) = ax² + bx + c

(hier ist kein Parameter frei wählbar,

hier ist nur gefordert, dass der Leitkoeffizient a ≠ 0 ist)

Wenn man z.B. für eine lineare Funktion "nur" einen Punkt gegeben hat, muss eine zusätzliche Information gegeben sein (, dass kann die Steigung oder den y-Achsenabschnitt betreffen).

Zum Beispiel:

1. Info: ein Punkt (1|3)

2. Info: die gesuchte Gerade liegt parallel zur Geraden g(x) = 2x

=> die Steigung m = 2 => die gesuchte y = 3 = f(1) = 2*1 + b

=> die gesuchte Funktion f(x) = 2x + 2/3

1. Info: ein Punkt (1|3)

2. Info: die gesuchte Gerade Ursprungsgerade

=> y-Achsenabschnitt b = 0 => die gesuchte y = 3 = f(1) = m*1 + 0

=> die gesuchte Funktion f(x) = 3x

Genauso verhält es sich, wenn man weiß, es geht um eine quadratische Funktion:

Drei Informationen oder

ein Punkt und zwei Informationen oder

zwei Punkte und eine Information.

Wenn Du also zwei Punkte zu einer quadratischen Funktion hast, könnte die dritte Information sein:

Zum Beispiel

3. Info: Es handelt sich bei dieser Funktion um eine verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel.

D.h., der Leitkoeffizient a = 1 (oder auch normierte Parabel)

=> f(x) = 1x² + bx + c => zwei Punkte um b und c zu ermitteln.

oder

3. Info: Der y-Achsenabschnitt ist = 3

=> f(x) = ax² + bx + 3 => zwei Punkte um b und c zu ermitteln.

oder

3. Info : Die Parabel ist um 2 nach rechts verschoben

=> f(x) = a(x - 2)² + f (Scheitelpunktform) => zwei Punkte um a und f zu ermitteln.

oder

3. Info : Bei einem der gegebenen Punkte handelt es sich um den Scheitelpunkt, (Parabel ist symmetrisch, siehe auch unten).

Hast Du einen Graphen, gezeichnet in einem Koordinatensystem, vor Dir liegen, dann sieht die Sache z.B. für Geraden und Parabeln so aus:

Gerade:

Du schaust zuerst, wo der y-Achsenabschnitt ist = b.

Das ist da, wo sich die Gerade mit der y-Achse schneidet = b .

Zum Beispiel b = +1

=> y = f(x) = m*x + 1

Jetzt schaust Du, wo sich z.B 1 = x-Koordinate mit der y-Koordinate (z.B. y = 3) treffen.

=> y = 3 = f(1) = m * 1 + 1 => die Steigung m = 2

=> y = f(x) = 2x + 1 Fertig

Parabeln:

Zunächst schaust Du bei welchen x,y - Koordinaten sich der Scheitelpunkt befindet

Z.B. Scheitelpunkt (x|y) = (2|-1)

Kannst Du sofort erkennen, ob es eine verschobene nach oben geöffnete Normalparabel ist, dann kannst Du für a = 1 setzen.

(Man kann auch eine Schablone der Normalparabel verwenden.)

Die Funktion ist also um 2 nach rechts (nach links wäre x = -2) und um 1 nach unten verschoben (nach oben wäre y = +1) und sei sie nach oben geöffnet, dann a = +1, (nach unten wäre a = -1)

D.h. Du hast drei Infos auf einen Schlag und kannst diese in die Scheitelpunktform einsetzen:

y = f(x) = 1*(x - 2)² - 1 (Scheitelpunktform)

=> y = f(x) = x² - 4x + 3 (allgemeine Form) Fertig.

Sollte es keine Normalparabel sein (also gestaucht oder gestreckt), muss man den Streckungs/Stauchungsfaktor a bestimmen.

a ist +, wenn Parabel nach oben geöffnet ist,

a ist -, wenn Parabel nach unten geöffnet ist.

Z.B. Scheitelpunkt SP(x|y) = (2|-1)

y = f(x) = a*(x - 2)² - 1 (Scheitelpunktform).

Sei sie nach unten geöffnet (, dann hat sie keine Nullstellen).

Aber man weiß, dass sie achsensymmetrisch an x = 2

und an y = -1 ist (an ihre jeweiligen Koordinaten des Scheitelpunktes).

Das bedeutet, x ablesen bei irgendeinem y (NICHT y = -1, das ist ja die y-Koordinate des SP).

Beispiel: y = -2 (,-3,-4,-5,...) ganz egal...

Hauptsache tiefer als (-1), die Parabel ist nach unten geöffnet.

Z.B. y = -3, dann gibt es immer zwei x-Stellen ( eine auf der rechten Seite von x = 2 und eine auf der linken Seite von x = 2 mit gleichen Abstand).

Man liest z.B. rechtes x = 6, dann muss das linke x = -2 sein.

Das bedeutet, beide x haben den gleichen Abstand = 4

(zu der x-Koordinate des SP = 2)

Mit y = -3 und y-Koordinate von SP = -1 genauso.

Hier ist der Abstand = 2

Das soll ein Bruch sein:

....... .Abstand (der y-Werte)

a = --------------------------------- = 2/4 = 1/2

.........Abstand (der x-Werte)

Da nach unten geöffnet, a ist minus

=> f(x) = -1/2(x - 2)² - 1 (Scheitelpunktform)

=> f(x) = -1/2(x² - 4x + 4) - 1

=> f(x) = -1/2x² + 2x - 2 - 1

=> f(x) = -1/2x² + 2x - 3 (allgemeine Form) Fertig.

Ich hoffe, ich konnte Dir einwenig weiterhelfen.

Wenn Du noch irgendwelche Fragen hast.....gerne

Gruß Andrea

Mit den zwei Punkten meinst du wohl eine lineare Funktion. DU kanst bei www.oberprima.de alles erfahren, benutze dort die Suchfunktion.

Also du hast 2 Punkte und die allgemeine Form y=mx+b. Jetzt setzt du den einen Punkt in die Gleichung ein und löst die Gleichung auf und berechnest die Steigung m mit der Punktsteigungsform: m=y2-y1/x2-x1

Viel Erfolg.

Gruß

Slawa

Für eine Funktion n-ten Grades brauchst du n+1 Koordinaten.

Eine Funktion 1. Grades (Gerade) ist also durch zwei Punkte festgelegt.

Für eine Funktion 2. Grades (quadratische Funktion) brauchst du drei Punkte. Hast du nur zwei, dann gibt es unendlich viele quadratische Funktionen, die durch diese zwei Punkte gehen (eine sog. Funktionenschar).

Für eine Funktion 3. Grades (kubische Funktion) brauchst du vier Punkte.

Und so weiter.

Daneben gibt es natürlich noch viele andere Funktionstypen: gebrochen rationale Funktionen, Wurzelfunktion, Exponential- und Logarithmusfunktionen, trigonometrische Funktionen und natürlich alle nur denklichen Kombinationen.

Manchmal liegt ein bestimmter Funktionstyp nahe: Hast du z.B. periodisches Auf und Ab, dann handelt es sich wohl um eine trigonometrische Funktion; gebrochen rationale Funktionen nähern sich Asymptoten an, die Anzahl der Nullstellen, Extrema schließt gewissen Funktionstypen aus (bei drei Nullstellen kann's z.B. keine quadratische Funktion sein), etc.

Gerade bei komplexen Funktionen ist das aber schwer zu sagen und (für mich) quasi unmöglich sofort eine Funktionsgleichung zuzuordnen.

Die Erfahrung kommt mit der Zeit, wenn man sich mit den entsprechenden Funktionen beschäftigt und die Eigenschaften besser kennenlernt.

Zur Frage wie man mit gegebenen Punkten die Funktionsgleichung bekommt:

Sagen wir, du hast eine Funktion 5. Grades: y = ax^5 + bx^4 + cx³ + dx² + e

Um diese konkret zu bestimmen, brauchst du sechs Koordinaten, d.h. x/y-Wertepaare.

Jedes Wertepaar setzt du dazu in die Gleichung ein: jedes x ersetzt du durch die x-Koordinate und das y durch die zugehörige y-Koordinate. Dann bleiben nur Zahlen und die Variablen a bis e übrig.

Jede Koordinate ergibt eine Gleichung.

So bekommst du ein lineares Gleichungssystem, das du mit den entsprechenden Verfahren lösen kannst.

Ich hoffe, die Antwort hat dir etwas weitergeholfen. :-)

Gruß

SORRY ich bin zwar gut in mathe aber in geo war ich schon immer ein ideot

Soweit ich das auf die schnelle Blicke, kann man beliebig viele eindeutige Gleichungen berechnen mit nur 2 Punkten. Im Prinzip ist nur zu beachten, dass das Polynom in dem Fall nur 2 Koeffizienten besitzen darf. Ansonsten ist zum Bsp. ein Parameter noch frei wählbar.

Also warum sollte nicht eine Quadratische Gleichung durch (1,4) und (2,11) gehen dürfen.... es gibt sogar unendlich viele davon. Nur bei 3 Punkten, ist es dann nur eine Gleichung.

welche a,b und c bei ax^2+bx+c eindeutig dingfest machen.

Noch verständliche ist die Annahme von nur einem Punkt.

Schier gibt es unzählige Quadratische Gleichungen die durch den Punkt (0,0) gehen. Sowohl x^2 , 1/2x^2, 1/3x^2 (nur a gegeben)

gibt es aber auch x^2-6x oder -2x^2+7x ( a und b gegeben )etc

Aber darf nur der Typ y=ax^2 vorkommen und der Punkt (-4,9) ist gegeben , ist nur eine Lösung klar: 9=a*16,a=9/16

:y=9/16 x^2 fällig. Ein Koeffizient a und nur 1 Punkt, dass ist eindeutig.