Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen?

Keine Sorge!

Man kann so eine Gleichung nicht lößen wie du es im Moment vielleicht verstehst.

Es gibt hier unendlich viele Lößungen!

Du kannst hier eine Lößungsgerade erstellen, in anderen Worten eine Formel in die du für eine der Variablen einen Wert einsetzt und dich die anderen beiden Werte ausrechnen lässt.

Aber für dich ein einfacherer Weg: Du kannst einfach mal für irgendeine Variable irgendeinen Wert einsetzten und somit eine der unendlich möglichen Lößungen ausrechnen.

Hier wurde einfach z gleich 0 gesetzt.

Führt zu: x= -1, was zu y= 37/5 führt! (und nicht 35/7, was auch jeder Mathematiker gekürzt hätte)

Nicht wirklich schwer, oder?

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EDIT: Schließlich habe mich mich umentschlossen doch noch die erwähnte Lößungsgerade zu erstellen:

z = V

führt zu: x = -1 - V

und y = (37-2V)/5

Z.B. setzt man 5 in die HilfsVariable ein erhält man: z=5/ x=-6/ z=2,6

Bei t Element R sind das unendlich Lößungen.

Hallo Lisa,

Thomas K. hat recht.

Ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen kann man nie eindeutig lösen.

Im Mathematik-Jargon nennt man so ein Gleichungssystem unterbestimmt.

Um eine Gleichungssystem mit n Variablen lösen zu können, braucht es immer auch n (nicht-äquivalente) Gleichungen.

Wenn man jetzt, wie Thomas K. einer der Variablen einen Wert zuscheibt (hier z = 0 aus deiner Lösung), dann wird diese Variable eliminiert und du erhälst ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen.

Und dann passts wieder! ;-)

Genauso gut hätte man auch einer der anderen Variablen einen bestimmten Wert geben können, aber "0" ist natürlich besonders elegant.

Dieser Lösungsansatz geht natürlich nur, wenn man die "Lösung" vorher schon weiß. Damit wird so eine Aufgabe aber letztlich sinnlos.

Im Grunde genommen überprüfst du (bzw. Thomas K.) nur, ob die gegebenen Werte (0|-1|37/5) wirklich eine Lösung sind.

@ Badtina:

Deine Rechnung sieht zwar schön aus, insbesondere, weil du scheinbar die "richtige Lösung" ermittelst.

Leider hast du einen Fehler gemacht. (Was nicht anders zu erwarten war, denn das Gleichungssystem ist wie gesagt unterbestimmt und hat keine eindeutige Lösung.)

Du formst folgendermaßen um:

-2z - 2 + 5y + 4z = 35

-2z - 2 + 5y = 35

Richtigerweise müsste es aber heißen:

-2z - 2 + 5y + 4z = 35

+2z - 2 + 5y = 35

Dieser Vorzeichenfehler zieht sich durch die ganze Rechnung. Korrekt gerechnet, ergibt sich in dem Rechenschritt, in dem du "4z = 0" erhälst, in Wirklichkeit folgendes:

10y + 4z = 74

Guter Versuch, aber wie gesagt, von vorn herein zum Scheitern verurteilt... :,-(

@ Lucky:

Leider hast du dich auch verrechnet, und zwar bei folgender Umformung:

-2+5y+2z=35 ; +2

5y+2z= 35

Richtig muss es heißen:

5y+2z= 37

Wenn du diesen Fehler in den folgenden Zeilen korrigierst, bekommst du am Ende keinen Widerspruch, sondern eine wahre Aussage: 35 = 35

Auch das ist zu erwarten.

Wenn du in einer überbestimmten linearen Gleichung, eine Variable nach der anderen ausrechnest und immer wieder in eine der Ursprungsgleichungen einsetzt passiert das.

Schau dir mal dieses einfache Beispiel an:

a+b-c = 0

a-b = 5

a = b+5

b+5+b-c = 0

2b+5-c = 0

c = 2b+5

b+5+b-2b+5=0

0=0 ==> wahre Aussage

Leute, es ist wirklich so: sucht man nach einer einzigen eindeutigen Lösung bei einem Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen, braucht man gar nicht erst anfangen. Die Zeit kann man sich sparen.

Es gibt keine Lösung.

Also, als erstes formst du die untere Gleichung um, sodass du einsetzten kannst:

x+z= -1 ; -z

x= -1-z

Nun kannst du für x einsetzen:

2*(-1-z)+5y+4z =35

Dann umformen:

-2-2z+5y+4z=35

-2+5y+4z-2z=35

-2+5y+2z=35 ; +2

5y+2z= 35

Nun formst du wieder um:

5y+2z= 35 ;-2z

5y=35-2z

Nun kannst du alles in die obere Gleichung einfügen:

2*(-1-z)+35-2z+4z=35

-2-2z+35-2z+4z=35

-2+35-4z+4z=35

-2+35=35

33=35

Das bedeuted, dass es keine Lösung gibt.Deine "Lösung" ist auch falsch:

2*(-1)+5*5+4*0=-2+25+0=23

Weil 35 durch 7 (35/7) ist 5.