Nachweis der Tangentialebene?

Question

Wer gibt mir den entscheidenden Tipp?
Ich soll zeigen, dass die Ebene mit der Gleichung
2x + 2y + z = 3
Tangentialebene zur Kugel mit dem Radius r = 6 und dem Mittelpunkt M(5 | 3 | 5) ist.

Ich habe die Gleichung der Kugel aufgestellt:
(x - 5)² + (y - 3)² + (z - 5)² = 36

Aber nun komme ich nicht weiter.
Wie bringe ich beide zum Schnitt?
Oder wie kann ich zeigen, dass der Abstand des Mittelpunktes M(5 | 3 | 5) zur Ebene gleich r = 6 ist?

Brauche ich dazu die Hessische Normalform?
Wie finde ich einen Normalenvektor der Ebene?

Daniel · Accepted Answer

Hessischen Normalform:
die 3 auf die andere seite bringen
2x+2y+z-3=0
es gilt d=(ax+by+cz-e)/(wurzel(a²+b²+c²))        mit d=abstand der ebene zur kugelmitte
a=2 b=2 c=1 und e=3
also
(2x+2y+1z-3)/wurzel(2²+2²+1²))
nun für x y und z den mittelpunkt der kugel einsetzen

(2*5+2*3+1*5-3)/wurzel(4+4+1) = d
(10+6+5-3)/wurzel(9) = d
18/3 = d
6 = d

--> der abstand der ebene zur kugelmitte beträgt 6, (=r) also tangentialebene

ich hoffe du verstehst das xD

ps: der Normalenvektor der Ebene ist n(2/2/1). das ist abzulesen an der Koordinatenform, die Zahlen vor x,y und z sind der normalenvektor, unabhängig der Zahl die hinter der Gleichung steht. den braucht man ebensowenig wie die gleichung der kugel.

Wurzelgnom · Answer

Der Normalenvektor ist (2 ; 2 ; 1)

Die Gerade durch das Lot von M auf die Ebene hat also die Gleichung:
(x; y; z) = (3; 3; 5) + t(2; 2; 1) = (5 + 2t; 3 + 2t; 5 + t)

Diese Gerade durchstÃ¶Ãt die Ebene im LotfuÃpunkt L(xL; yL; zL)
Dazu setzen wir in die Ebenengleichung ein:
2*(5 + 2t) + 2(3 + 2t) + (5 + t) = 3
Das liefert t = - 2,
womit man den LotfuÃpunkt zu P(1; - 1; 3) ermitteln kann.

Der Vektor ->MP hat die Koordinaten (1 - 5; - 1 - 3; 3 - 5) = ( - 4; - 4; - 2)
Sein Betrag ist
|MP| = wurzel[(- 4)Â² + ( . 4)Â² + ( - 2)Â²] = wurzel(16 + 16 + 4) = wurzel(36) = 6 = r

Dieser Weg ist zwar umstÃ¤ndlicher als der von Daniel, liefert aber noch mehr Informationen Ã¼ber die Lage des BerÃ¼hrungspunktes.

Nachweis der Tangentialebene?

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