Lagebeziehung Kugel - Ebene?

Question

Wer gibt mir den entscheidenden Tipp?
Ich soll zeigen, dass die Ebene mit der Gleichung
2x + 2y + z = 3
Tangentialebene zur Kugel mit dem Radius r = 6 und dem Mittelpunkt M(5 | 3 | 5) ist.

Ich habe die Gleichung der Kugel aufgestellt:
(x - 5)² + (y - 3)² + (z - 5)² = 36

Aber nun komme ich nicht weiter.
Wie bringe ich beide zum Schnitt?
Oder wie kann ich zeigen, dass der Abstand des Mittelpunktes M(5 | 3 | 5) zur Ebene gleich r = 6 ist?

Brauche ich dazu die Hessische Normalform?

Wurzelgnom · Accepted Answer

Hier meine Antwort, die ich Dir auch schon unter Hausaufgabenhilfe gegeben habe:


Der Normalenvektor ist (2 ; 2 ; 1)

Die Gerade durch das Lot von M auf die Ebene hat also die Gleichung:
(x; y; z) = (3; 3; 5) + t(2; 2; 1) = (5 + 2t; 3 + 2t; 5 + t)

Diese Gerade durchstößt die Ebene im Lotfußpunkt L(xL; yL; zL)
Dazu setzen wir in die Ebenengleichung ein:
2*(5 + 2t) + 2(3 + 2t) + (5 + t) = 3
Das liefert t = - 2,
womit man den Lotfußpunkt zu P(1; - 1; 3) ermitteln kann.

Der Vektor ->MP hat die Koordinaten (1 - 5; - 1 - 3; 3 - 5) = ( - 4; - 4; - 2)
Sein Betrag ist
|MP| = wurzel[(- 4)² + ( . 4)² + ( - 2)²] = wurzel(16 + 16 + 4) = wurzel(36) = 6 = r

Der Lotfußpunkt ist damit gleichzeitig der Berührungspunkt

asimov · Answer

N von Ebene = ( 2 , 2 , 1 ) und ist wurzel(2Â²+2Â²+1Â²) = 3 lÃ¤ngeneinheit gross.

du musst zeigen daÃ P= Z +- 2N auf ebene liegt (entweder + oder -)
P1=(5 , 3 , 5 ) + 2( 2 , 2 , 1 ) =(9 , 7 , 7) folgt 2*9+2*7+1*7=18+14+7=39 falsch
P2=(5 , 3 , 5 ) - 2( 2 , 2 , 1 ) = (1 , -1 , 3) folgt 2*1+2*(-1) + 1*3 = 3 richtig
fertig gezeigt !!

Daniel · Answer

es reicht wenn du die frage einmal fragst... ich beantworte sie auch nur einmal :P

Lagebeziehung Kugel - Ebene?

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