Wer hat Ahnung von ganzrationalen Funktionen ?

Question

Hallo,

wär nett wenn jemand einen Ansatz für folgende Aufgabe hätte:

Berechnen Sie die Funktionsgleichung für eine ganzrationale Funktion 3.Grades mit:
f hat einen Wendepunkt im Ursprung und bei x= -1 die Steigung -1, f geht durch P( - 1/ 2 ).

Meine Idee:
allg. Schreibweise Funktion 3. Grades:    
ax³ + bx² + cx + d

1. Ableitung:  3ax² + 2bx +c
2. Ableitung:  6ax + 2b
3. Ableitung:  6a
Aber was bedeutet "Wendepunkt im Ursprung"? Ist damit der Nullpunkt gemeint (0/0) ?
Und Steigung im -1 bei x= -1 heisst doch dass die 1.Ableitung -1 ergeben soll. 
Doch wie gehts weiter?
Wär dankbar für jede Hilfe.

matherwig · Accepted Answer

Leider kann ich der Antwort von qm_sirius ganz und gar nicht zustimmen:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f´(x) = 3ax² + 2bx + c
f"(x) = 6ax + 2b
Das hast du ja schon richtig geschrieben.

Nun zu den Gleichungen:

Wendepunkt im Ursprung: d.h. Ursprung (0/0) ist ein Punkt der Kurve und gleichzeitig Wendepunkt:
=> f(0) = 0 = a*0³ + b*0² + c*0 + d => d = 0
f"(0) = 0 = 6a*0 + 2b  => b = 0

Nun der Punkt (-1/2):
=> f(-1) = 2 = a*(-1)³ + c*(-1) = -a - c  (b und d kennen wir schon als Null)

Steigung bei x = -1 ist -1:
=> f´(-1) = -1 = 3a*(-1)² + c = 3a + c

Unser Gleichungssystem schaut also jetzt so aus:
b = 0
d = 0

2 = -a - c
-1 = 3a + c
-------------------  (addieren)
1 = 2a
=> a = 1/2

2 = -1/2 - c => c = -5/2

Funktionsgleichung lautet daher:
f(x) = 1/2*x³ - 5/2*x

qm_sirius · Answer

Aaaaalso:

Was Du schreibst, ist soweit richtig. Du hast also vier Gleichungen mit 4 Unbekannten. jetzt suchst Du Dir alle Infos zusammen:

Wendepunkt in (0/0) heiÃt ja, f''(0) = 0
Steigung -1 bei x = -1 -> f'(-1) = -1
Funktion in P (-1 / 2) -> f(2) = -1

Es fehlt also eine Info fÃ¼r die 4. Unbekannte. Ich wÃ¼rde daher a = 1 setzen.

Wer hat Ahnung von ganzrationalen Funktionen ?

2 Antworten