Extrempunkte dieser Winkelfunktion?

@melishe: Natürlich kannst du auch mit diesem Ansatz rechnen. Aber es ist definitiv einfacher, die Funktion so zu differenzieren, wie Shoma es gemacht hat und anschließend den 4-fachen Winkel des cos durch den doppelten Winkel des sin auszudrücken. So hat sich bei dir ein Fehler eingeschlichen. Ansonsten ist der Rechenweg aber korrekt.

Die Ableitung ist korrekt:

Nun gilt es, mittels der Additionstheoreme die Ableitung so umzuformen, dass die Nullstellen einfach bestimmt werden können:

cos(4x) = cos(2*2x) = 1 - 2sin²(2x)

in y' einsetzen:

y' = 8[1 - 2sin²(2x)] - 6sin(2x)

y' = 8 - 16sin²(2x) - 6sin(2x) = -16sin²(2x) - 6sin(2x) + 8

Null setzen:

-16sin²(2x) - 6sin(2x) + 8 = 0

Normieren:

sin²(2x) + ⅜sin(2x) - ½ = 0

Nun substituierst du sin(2x) = u und bekommst eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst:

u² + ⅜u - ½ = 0

Anschließende Resubstitution gibt die Maxima und Minima.

Winkelfunktionen von verschiedenen Winkeln sind die Pest, deshalb forme ich sin (4x) mit der Summenformel um. Diese lautet allgemein:

sin (2alpha) = 2 sin (alpha) cos (alpha) oder auf deine Funktion angewendet:

f(x) = 3 cos (2x) - 2 sin (2x) cos (2x)

f'(x) = - 6 sin (2x) - 2*(cos²(2x) - sin²(2x)) = 0 oder

-3 sin (2x) + sin² (2x) - cos² (2x) = 0 Es gilt aber: cos² (2x) = 1 - sin²(2x)

- 3 sin(2x) + sin²(2x) -1 + sin²(2x) = 0 oder

2 sin²(2x) - 3sin(2x) - 1 = 0

jetzt substituierst du sin(2x) = u und hast eine quadratische Gleichung

2u² - 3u - 1 = 0 und erhältst u1 = 1,7808 und u2 = -0,2808, u2 ist die Lösung, weil sin nie größer als 1 sein kann, also:

sin(2x) =-0,2808 --> 2x = 343,69° und x = 171,85°

oder natürlich 2x = 196,31° und x = 98,16°

plus alle Perioden dazu.... ( sowohl 343,69 + n * 360 --> x = 171,85 + n * 180 und auch für zweite Lösung)