nullstellen berechnen mit komplexen zahlen?

Question

hallo,

wenn ich eine quadratische gleichung habe und die nullstellen mit der pq formel ausrechne und negative werte für die wurzel habe ..muss ich doch die beiden wurzeln aus der komplexen zahl ziehen und die beiden ergenisse doch jeweils mit dem wert vor der wurzel plus und minus rechnen (wegen pq formel).
dann hab ich doch insgesamt vier lösungen aber eine quadratische gleichung hat doch nur 2 nullstellen?

Paiwan · Accepted Answer

Okay, mal formal bezogen auf die Normalform:

x² + px + q = 0

x² + px + (½p)² = (½p)² - q

x_1/2 = ½p ± √[(½p)² - q]

Ich nehme mal für den Wurzelterm D (für Diskriminante, so heißt der Term unter der Wurzel):

x_1/2 = ½p ± √D

Wenn D negativ ist, nennt sich die Lösung konjugiert komplex. Sie besteht aus einem realen und einem imaginären Teil:

x_1 = ½p + i√D
x_2 = ½p -  i√D

Es sind also genau zwei Lösungen. Allerdings erfolgt die Darstellung nicht in einem kartesischen Koordinatensystem, sondern in der Gauß'schen Zahlenebene, wobei auf der x-Achse der reale Anteil ½p und auf der y-Achse der imaginäre Anteil ±√D aufgetragen wird. Die Lösungen sind zwei Zeiger vom Ursprung zu den so gefundenen Punkten.

Bezogen auf die Parabel bedeutet dies, dass sie entweder voll im 1. und 2. Quadranten (Scheitel oberhalb der x-Achse) oder im 3. und 4. Quadranten (Scheitel unterhalb der x-Achse) liegt, also keine realen Nullstellen besitzt.

nullstellen berechnen mit komplexen zahlen?

1 Antwort