Hilfe bei Extremwerten bitte?

Question

also wir machen in der Schule gerade die Trigonometrie also Sinus, Kosinus und Tangens 
wir fangen jetzt an damit Extremwertaufgaben zu lösen ich möchte bitte keine Lösung oder so etwas sondern wenns geht ne Erklärung
ich hab die Aufgabe

T(cosα) = 3cos²α + 0,4cosα + 1,12

die wird umgeformt zu

T(cosα) = 3(cosα + 0,07)² + 1,11

so bis hierhin ja noch kein Problem

aber ich soll jetzt die Extremwerte für den Winkel α herausfinden
versteh aber nicht wirklich wie ich das Minimum und das Maximum für α rausbekomme
(weiss nur dass ich iwie für α entweder -1 oder 0 oder 1 einsetzen muss)

wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet und erklärt wie ich welchen Schritt aus welchem Grund mache, sodass ichs dann später auch auf andere Aufgaben anwenden kann

danke schon mal im Voraus für die Hilfe

Paiwan · Accepted Answer

Deine zweite Gleichung stimmt nicht, zumindest gibt es unterschiedliche Ergebnisse für einen Winkel. Ich forme mal um, u die exakte Gleichung zu ermitteln:

T(cosα) = 3cos²α + 0,4cosα + 1,12 | :3

⅓T = cos²(α) + 0.4/3*cos(α) + 1.12/3 | quadratisch ergänzen: + (0.4/6)²

⅓T + (0.4/6)²  = [cos(α) + 0.2/3]² + 1.12/3

⅓T = [cos(α) + 0.2/3]² + 1.12/3 - (0.4/6)²

T = 3{[cos(α) + 0.2/3]² + 1.12/3 - (0.4/6)²}

T = 3[cos(α) + 0.2/3]² + 3.32/3

Dies ist das adäquat zu deiner Ausgangsgleichung!!!

So, nun untersuche die Aufgabe mal in Bezug auf ihren Verlauf als normale Funktion des Cosinus. Betrachte nur den Klammerterm

cos(α) wird maximal bei α = 0, ±π, ±2π.....
cos(α) wird minimal bei α = ±½π, ±1.5π....

und hat den Wert ±1

wobei bezogen auf den Klammerterm dann dieser Wert um 0.2/3 erhöht wird. Die Quadratur des Klammerterms bewirkt, dass der Cosinus bei n-mal ½π minimal wird

1) Für 0 ergibt sich 1 als Ergebnis + 0.2/3, also 1.0667
2) Fur ½π ergibt sich als Ergebnis + 0.2/3, also 0,0667
3) Für π ergibt sich -1 als Ergebnis + 0.2/3, also - 0.933

1) α = 0    : [cos(α) + 0.2/3]² = 1.1378
2) α = ½π : [cos(α) + 0.2/3]² = 0,0044
3) α = π    : [cos(α) + 0.2/3]² = 0.8711

Nun bleibt eigentlich nur noch ein minimaler Rest übrig. Der letzte Term bewirkt, dass die Funktion um 3.32/3 nach oben verschoben wird und der Faktor 3 bewirkt eine Verdreifachung der Amplituden:

Maximum_1 : 3*1.1378 + 3.32/3 = 4.52
Minnimum    : 3*0,0044 + 3.32/3 = 1.12
Maximum_2 : 3*0.8711 + 3.32/3 = 3.72

sunny_wds · Answer

Versuch es mit der Substitutionsmethode:
statt cos ALPHA rechnest du das mit x   also x=cos ALPHA

Du hast nur T(x)=3xÂ²+0,4x+1,12

Wie Extremwertberechnung geht (1.Ableitung gleich Null setzen etc. und alles mit x), kannst du ja und musst auch kÃ¶nnen, deshalb schreibe ich hier nicht die ganze LÃ¶sungen hin.

auf jeden Fall bekommst du 2 Werte fÃ¼r x raus (wobei ich annehme, dass ein Wert rausfliegt, da x nicht kleiner als -1 und grÃ¶Ãer als 1 sein darf), danach kannst du dein ALPHA ausrechnen

ALPHA = cos^(-1)x   (mit dem Taschenrechner im Handumdrehen...)

Marco · Answer

leite den term T einfach nach alpha ab:

T ' = -6cos(alpha)*sin(alpha) - 0.4sin(alpha) = 0
sin(alpha) ausklammern, dann kriegt man zusÃ¤tzlich  cos(alpha) = -1/15.
alpha mit taschenrechner oder tabelle bestimmen.
(wenn ihr "trigonometrie" betreibt, kommen nur die winkel 0 grad < alpha < 180 grad in frage.)

ps: was soll deine umformung???

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