Rechnen mit Kreisteilen...?

Question

Hallo liebe Comunity, ich scheitere an folgender Mathematikaufgabe:

Gegeben sind Bogenlänge (3,00m) und Flächeninhalt (16,00m²) eines Kreisteiles bzw. Sektors.
Berechnet werden sollen sowohl radius als auch der mittelpunktswinkel alpha.

meine idee war, ein gleichungssystem aufzustellen, á la

| (r² * [pi] : 360) * [alpha] = 16 |
| (2r * [pi] : 360) * [alpha] = 3 |

um anschließend den oberen term nach [alpha] aufzulösen und in den unteren einzusetzen, sodass ich nur noch eine unbekannte, nämlich r habe.
nur irgendwie drehe ich mich orientierungslos im kreis, und das seit ca. 3,5 din a4 seiten..

ich bitte hier mal um eure hilfe, es wäre nett, wenn ihr mir die aufgabe mal durchkommentiert vorrechnen könntet.. nur die ergebnisse nützen mir wenig, ich will nicht abschreiben sondern lernen ;)

mfg,
ich

Wurzelgnom · Accepted Answer

Hi, Deniz!
Zuerst musst Du mal überlegen, welche Formeln für den ganzen Kreis Du kennst:
A = pi r²
U = 2 pi r

Jetzt hast Du aber nicht den ganzen Kreis, sondern nur einen Ausschnitt.
Und außen ist auch nicht der ganze Umfang, sondern nur ein Bogen.

Es verhält sich der Bogen b zum Umfang U wie der Flächeninhalt A(Ausschnitt) zum ganzen Kreis A

Also:
b : (2 pi r) = A(Ausschnitt) : (pi r²)

So, und das kannst Du nun nach r umstellen:
b/(2 pi r) = A / (pi r²) | * pi r²
br/2 = A | * 2/b
r = 2A/b

Und nun zum Winkel:
Der Mittelpunktswinkel alpha verhält sich zu 360° wie der Bogen zum ganzen Umfang.
Den Umfang kannst Du jetzt aber ausrechnen, wenn Du den Radius hast.
alpha : 360° = b : (2 pi r) | * 360°
alpha = 180°b/(pi r)

Element · Answer

Hallo,
deine Ãberlegungen stimmen genau, 
wo ist denn da etwas schiefgegangen?
Wenn du die erste Gleichung nach alpha auflÃ¶st, 
so erhÃ¤lst du 

alpha = (16*360Â°) / (pi*r ^2)  

eingesetzt in den unteren Term hast du dann

(2 * Pi /360Â°) * (16*360Â°) / (pi*r ^2)  =3 

so und nun wird krÃ¤ftig gekÃ¼rzt: pi  und 360Â° und r,
so dass schlieÃlich nur noch 
(2*16) / r =3 
Ã¼brig bleibt,
dies gibt aufgelÃ¶st wie schon in den anderen Antworten angeben r= 32/3
dieses Ergebnis setzt du dann in deine Formel fÃ¼r alpha ein und bist fertig.

Freddy · Answer

Dein Ansatz ist vÃ¶llig richtig. hÃ¤tte ich nicht anders gemacht

LÃ¶sen wir mal beide Gleichungen nach alpha (a) auf
a= 360 * 16/(2pirÂ²)
a=360* 3/(2pir)
also : 360 * 16/(pirÂ²) = 360* 3/(2pir)
16/r = 3/2

also r = 32/3 meter

dieses Ergebnis oben einsetzen und alpha rausbekommen
a= 360* 3/(2pi *32/3)
a=360*3*3 / 64pi
a= 16,1 grad

Rechnen mit Kreisteilen...?

3 Antworten