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Integral von 1/(2x + 4)?
Ich bin gerade ein bisschen verwirrt wegen diesem Integral, weil ich zwei Lösungen gefunden habe:
1) 1/2*ln(x+2)
dann wäre ja i(x)= x+2, i'(x) = 1; a(x)= 1/2*ln(x) und a'(x)= 1/2* 1/x
die Ableitung also insgesamt: 1*1/2*1/(x+2) = 1/(2x+4)
2) 1/2*ln(2x+4)
dann wäre ja i(x) = 2x+4, i'(x)= 2; a(x)=1/2*ln(x) und a'(x)= 1/2* 1/x
die Ableitung also insgesamt 2*1/2*1/(2x+4)= 1/(2x+4)
So, jetzt meine Frage: 1) und 2) sind doch zwei unterschiedliche Funktionen, die können doch nicht beide eine Stammfunktion sein, oder? Habe ich mich irgendwo verrechnet? Ich sitze hier seit einer halbe Stunde vor und versuche, hinter meinen Denkfehler zu kommen.
Kann mir jemand helfen? Danke!
Klar, dass beim Ableiten von ln(x) 1/x rauskommt. Aber ich brauche doch die Kettenregel, wenn ich ln(2x+4) ableiten will, die innere Funktion ist doch 2x+4 und die äußere ln(x). Steht auch so in meinem Mathebuch. Wenn ich deine Stammfunktion also ableite bekomme ich 2*ln(2x+4) raus, stimmt also nicht.
2 Antworten
- WurzelgnomLv 7vor 1 JahrzehntBeste Antwort
Integral J'ln x dx = 1 / |x| + c
Aber hier hast Du es mit einer verketteten Funktion zu tun, also müsstest Du substituieren:
u = 2x + 4
umgestellt nach x ergibt sich:
x = 1/2 u - 2
dx/du = 1/2, also
J' 1/(2x + 4) dx = J' 1/u dx/du du = 1/2 J' 1/u du = 1/2 ln |u| + c
Jetzt machen wir die Substitution wieder rückgängig, dann ergibt sich:
1/2 ln | 2x + 4| + c
Probe:
( 1/2 ln | 2x + 4| + c) ' = 1/2 * 1/(2x + 4) * 2 = 1/(2x + 4)
(Nicht die Anwendung der Kettenregel, also die Ableitung der inneren Funktion vergessen!)
Jetzt zu Deiner Lösung und dem vermeintlichen Widerspruch:
Bedenke bitte die Logarithmusgesetze:
ln (a*b) = ln a + ln b
Hier angewandt, erhalten wir:
ln(2x + 4) = ln [ 2(x + 2)] = ln 2 + ln (x+2)
Beide Funktionen unterscheiden sich also nur um eine additive Konstante, sind also wirklich beides Stammfunktionen. Der Unterschied äußert sich dann nur in verschiedenen c, die aber ohnehin ganz R durchlaufen.
Aber vergiss bitte nicht die Betragstriche!
Die Funktion 1/(2x + 4) ist für alle x außer - 2 definiert und auch integrierbar. Deine Stammfunktionen aber wären für negatives 2x + 4, also für x < - 2 nicht mehr definiert.
- vor 1 Jahrzehnt
Wenn man ln(x) ableitet bekommt man 1/x heraus. Beide Stammfunktionen von dir sind falsch, wenn du ln(2x+4) Ableitest bekommst du genau 1/(2x+4) also ist auch ln(2x+4) die richtige Stammfunktion. Wir haben hier zudem auch nur Summen und keine Produkte, also brauchst du keine Produkt, Ketten oder andere Ableitungsregeln beachten.
