Suche bijektive Abbildungen (um Gleichmächtigkeit von Mengen zu zeigen)?

Question

Ich brauche Funktionen bijektive Abbildungen für die Folgenden Mengen um jeweils ihre Gleichmächtigkeit zu beweisen: (für R ~ R könnte man zum Beispiel f(x)=x nehmen)


R ~ (R-{0})   (also brauche ich R bijektiv abgebildet auf R ohne die 0) 
R ~ (R-Z)     (also brauche ich R bijektiv abgebildet auf R ohne alle ganzen Zahlen)

(dabei sind R Menge der reellen Zahlen und Z Menge der ganzen Zahlen)

außerdem brauch ich noch ne bijektive Abbildung von den geraden Zahlen auf die "nicht durch 3 teilbaren" natürlichen Zahlen

hoffe es fällt jemanden (wenigstens zu einem) was ein oder kann mir wenigstens Hinweise oder Tipps geben =)
danke schon einmal im Vorraus

Basti

? · Accepted Answer

Zunächst mal: es ist oft viel einfacher, statt einer bijektiven Funktion zwei injektive Funktionen zu finden: Zwei Mengen A und B sind gleichmächtig genau dann, wenn es eine injektive Abbildung von A nach B und eine injektive Abbildung von B nach A gibt.

Siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Bernstein-Schr%C3%B6der-Theorem

--

Aber wenn du bijektive Funktionen haben willst:

Von ℝ nach ℝ&#92;{0}:

f(x) := x+1, falls x ∈ {0,1,2,3,4,...}
f(x) := x, sonst

Von den geraden Zahlen auf die nicht durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen:

Die Abbildung funktioniert z.B. so:
-8 --> 13
-6 --> 10
-4 --> 7
-2 --> 4
0 --> 1
2 --> 2
4 --> 5
6 --> 8
8 --> 11
etc.

Also:
g(n) := |n/2*3-1|    (Die || sind Betragsstriche...)

Arleon · Answer

FÃ¼r das erste: f(x)=1/x

FÃ¼r das zweite brauch ich noch ein bisschen =)

Suche bijektive Abbildungen (um Gleichmächtigkeit von Mengen zu zeigen)?

2 Antworten