Mathe: Wie erhalte ich aus 2 Geradengleichungen die Ebene (ihre Gleichung) in der sie liegen?

Question

Ich habe hier 2 Geradengleichungen in Vektorenform
a (2 / 0 /3) + t(4 / 1 / 0)
b (2 / 0 / 3) + t (7 / 1 / 1)

beide liegen in einer Ebene (sieht man am linear abhängigen Stützvektor glaub ich?) und jetzt soll ich die Ebenengleichung aufstellen, und das in Normalenform. Wie geht das?

also intuitiv würd ich die 2 erstmal gleichsetzen... ??
danke

KN · Accepted Answer

Du nimmst den Geradenschnittpunkt  und addierst die Linearkombiation der beiden Richtungsvektoren, also in deinem Beispiel:

E: (2/0/3) + t1 (4 / 1 / 0) + t2 (7 / 1 / 1)

? · Answer

Zwei Geraden liegen in einer Ebene, wenn sie parallel sind oder sich schneiden.
Die gegebenen Geraden schneiden sich, sie haben also einen gemeinsamen Punkt. Man sieht an den Gleichungen direkt, dass (2 | 0 | 3) der gemeinsame Punkt ist.

Deren Richtungsvektoren kannst du dir also auch als Richtungsvektoren fÃ¼r die Ebene vorstellen. Ein Normalenvektor der Ebene steht senkrecht auf den Richtungsvektoren, also kannst du einen Normalenvektor durch das Kreuzprodukt ausrechnen:

(4 | 1 | 0) x (7 | 1 | 1) = (1*1 - 0 *1 | 0*7 - 4*1 | 4*1 - 1*7)
= (1 | -4 | -3)

FÃ¼r jeden Punkt x der Ebene gilt dann:

(1 | -4 | -3) * (x - (2 | 0 | 3)) = 0

(das * bezeichnet hier das Skalarprodukt)

Das ist also die Ebenengleichung, die du suchst. (Die, die KN angegeben hat, ist die Parameterform.)

Anonym · Answer

Im Grunde genommen, wÃ¼rde ich erst einmal die Gleichungen in die Form y =k*x + d bringen. Also eine Gleichung fÃ¼r die erste, und dann eine Gleichung fÃ¼r die zweite. Du solltest dann 2 Gleichungen fÃ¼r y bekommen, diese setzt du gleich und formst sie um. Fertig ist der Brei :)
Hoffentlich ist dir bewusst, wie man die Vektorform in eine normale Gleichung umformt, dann sollte es wirklich kein Problem darstellen.

Mathe: Wie erhalte ich aus 2 Geradengleichungen die Ebene (ihre Gleichung) in der sie liegen?

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