Frage zur Diagonale des Quadrats!?

Die Quadratwurzel aus einer Zahl ist entweder eine ganze Zahl oder sie ist irrational, hat also unendlich viele Ziffern nach dem Komma, sie lässt sich nicht als das Verhältnis von zwei ganzen Zahlen darstellen. Aber diese unendlich vielen Nachkommastellen konvergieren trotzdem gegen einen festen Wert, die Zahl wird nicht unendlich groß.

In deiner Frage wird Mathematik und Physik bzw. Abstraktion und Realität miteinander vermischt. Die Mathematik bietet lediglich Modelle für die Physik, also die zugrundeliegende Welt. Modelle sind immer Abstraktionen, d.h. sie lassen bewusst Eigenschaften der tatsächlichen Physik weg, damit man schneller zu einem brauchbaren Ergebnis kommt. Denn in den allermeisten Fällen braucht man kein exaktes Ergebnis.

In deiner Frage geht es einerseits um das mathematische Quadrat, und andererseits um ein tatsächliches physikalisch existierendes Quadrat (das z.B. aus Strichen auf einem Papier besteht).

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Zuerst zum mathematischen Quadrat: Wenn die Seitenlänge gegeben ist, und ihre Maßzahl sei 1, dann gilt für die Länge der Diagonale y aufgrund des Satzes von Pythagoras:

y² = 1² + 1², also y² = 2

Ich könnte jetzt sagen ok, y = wurzel(2) -- ABER: die Wurzelfunktion ist überhaupt erst definiert als Lösung dieser Gleichung, deswegen macht eine solche Aussage nun überhaupt keinen Sinn und erklärt rein gar nichts!!

Die eigentlich sinnvolle Frage ist stattdessen: Lässt sich y ausdrücken als ein Term der Form: 42/495, also irgendwie als Berechnung, die nur ganze Zahlen und elementare Funktionen (plus, minus, mal, durch) benutzt, und man deswegen als Bruch schreiben kann?? Das wäre ja super, denn dann wäre es ganz einfach, y auszurechnen. Wir sagen dafür auch: Lässt sich y als rationale Zahl ausdrücken?

Die Antwort ist leider: NEIN, man kann y leider nicht als einfachen Bruch schreiben. Warum nicht?

Nehmen wir mal an, man könnte das tun, also y wäre ein Bruch. Dann habe y den Zähler p und den Nenner q, wobei der Bruch schon gekürzt sei, d.h. p und q seien teilerfremd, und es gilt dann:

(p/q)² = 2.

Umgeformt: p² = 2q²

2q² muss nun eine gerade Zahl sein. Weil p² = 2q², muss auch p² eine gerade Zahl sein. Und weil p² eine gerade Zahl ist, muss auch p eine gerade Zahl sein!

Also ist p/2 eine ganze Zahl.

Wegen p² = 2q² ist

(2 * p/2)² = 2q² und das ist wiederum dasselbe wie

4 * (p/2)² = 2q², und das wiederum dasselbe wie

q² = 2 * (p/2)²

Weil p/2 eine ganze Zahl ist, ist (p/2)² eine ganze Zahl. 2*(p/2)² ist dann eine gerade Zahl. Damit ist auch q² eine gerade Zahl. Und damit ist auch q eine gerade Zahl.

Also haben wir gezeigt, dass p und q gerade Zahlen sind, also beide durch 2 teilbar.

Oben hatten wir jedoch vorausgesetzt, dass p und q teilerfremd sind, der Bruch also schon gekürzt sei. Also haben wir die Annahme zu einem Widerspruch geführt und bewiesen, dass y nicht als Bruch dargestellt werden kann. Wir sagen: die Gleichung y² = 2 hat keine rationale Lösung.

Um die Lösung dennoch aufschreiben zu können und mit ihr weiterrechnen zu können, mussten wir daher ein neues Zeichen erfinden: die Wurzel. Damit entstand auch ein neuer Zahlenraum, nämlich die Reellen Zahlen. In diesem Raum ist die Lösung mathematisch sehr wohl "richtig".

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Nun zum physikalischen Quadrat: Du sagst, du könntest ein Quadrat mit den Seitenlängen 1cm (*) und auch die Diagonale genau zeichnen. Das ist eine Behauptung, die du nicht beweisen kannst, ohne die Eigenschaften des Raums zu kennen, in dem wir leben. Du nimmst also in deiner Frage an, unser Raum entspräche einem Raum, der analog zu den reellen Zahlen aufgebaut ist. Das muss aber nicht so sein.

Im Gegenteil zeigt uns unsere Erfahrung etwas anderes: Wenn du auch noch so genau zeichnest, wie du kannst, und deine Augen dir ein perfektes Quadrat zeigen, dann kannst du dennoch durch ein Mikroskop schauen und du wirst merken, dass es doch nicht perfekt ist.

Es ist deshalb durchaus möglich, dass der tatsächliche Raum, in dem wir leben, so ähnlich ist wie dein Computerbildschirm, also dass er aus vielen kleinen endlichen Bausteinen (Pixeln) aufgebaut ist. In dem Fall wäre es nicht möglich, einen mathematischen Punkt zu zeichnen, (da dieser keine Ausdehnung hat), und damit auch keine Linie und folglich auch kein mathematisches Quadrat. Diese ganzen Dinge würden damit also nur in unserer Vorstellung existieren, um die Welt einfacher beschreiben zu können.

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* - (Außerdem ist nicht einmal die Einheit "Zentimeter" exakt definiert, da die Definition des Meters auf exakter Zeitmessung beruht, die man bis jetzt noch nicht hingekriegt hat, sowie auf der Existenz eines komplett "leeren Raumes" (Vakuum), was man bis jetzt ebenfalls nicht geschafft hat.)

Hallo, blacksheep95

Ja, das mit den irrationalen Zahlen scheint ja offensichtlich für viele nicht so leicht zu kapieren sein.

Warum soll ich die Länge wurzel(2) nicht zeichnen können, nur weil das keine rationale Zahl ist?

Dass es auf der Zahlengerade genau einen Punkt geben muss, dem man die irrationale Zahl wurzel(2) zuordnen kann, hast Du sehr schön selber begründet.

Das Pfiffige ist nur, dass diese Zahl sich nicht als endliche Dezimalzahl schreiben lässt.

Das ist aber kein Widerspruch.

Das heißt nur, dass es solche Stellen auf der Zahlengeraden geben muss, dass es also sinnvoll ist, den Bereich der Rationalen Zahlen um die irrationalen zu erweitern, wenn man jedem Punkt eine Zahl zuordnen will.

Aber diese Zahl heißt eben wurzel(2).

Und das ist nun keine Rechenaufgabe, sondern wirklich eine Zahl.

Sie ist größer als 1 und kleiner als 2.

Sie ist größer als 1,4 und kleiner als 1,5

Sie ist größer als 1,41 und kleiner als 1,42

So kannst Du sie immer genauer zwischen zwei rationalen Zahlen einschachteln. Aber die Zahl ist eine irrationale und heißt einfach wurzel(2) - und das ist GANZ GENAU die Länge einer solchen Diagonalen.

Diese ist also KONSTRUIERBAR (und das hat nun nichts mit dem physischen Problem zu tun, dass jeder Bleistiftstrich, den Du malst, immer eine Graphitfläche ist)

Irgendwann wird der Zugewinn der Diagonalen ja kleiner als ein Atomdurchmesser....