Scheitelpunktsbestimmung mit Brüchen?

Ok, dann mal los...

Die Methode, die du anwenden sollst, heißt Quadratische Ergänzung.

Also, zuerst mal zu deiner Aufgabe 1:

(Die Sternchen (*) stehen für "mal")

13/3 - 4x/3 + x²/3

= 1/3 * x² - 4/3 * x + 13/3

= 1/3 * (x² - 4x + 13)

= 1/3 * (x² - 4x + 4 - 4 + 13)

= 1/3 * ((x-2)² + 9) /** PLUS! 9 **/

= 1/3 * (x-2)² + 3

So, das ist die korrekte Scheitelpunktform. Der Scheitelpunkt ist also (2|3).

Nun zu Aufgabe 2:

31/32 - x/4 - x²/2

= -1/2 * x² - 1/4 * x + 31/32

= -1/2 * (x² + 1/2 * x - 31/16)

= -1/2 * (x² + 1/2 * x + 1/16 - 1/16 - 31/16)

= -1/2 * ((x+1/4)² - 32/16)

= -1/2 * ((x+1/4)² - 2)

= -1/2 * (x+1/4)² + 1

Also Scheitelpunkt bei (-1/4 | 1).

PUH! Du musst sehr gut aufpassen bei diesem Rechnen. Es ist wirklich furchtbar. Ein kleiner Vorzeichenfehler ist sehr schnell passiert, und kann dir das ganze weitere Ergebnis kaputtmachen.

Es gibt daher einen kleinen Trick, nämlich eine allgemeine Formel für den Scheitelpunkt, die du dir evtl. merken solltest.

Du musst dazu zuerst den quadratischen Term, den du vorliegen hast, in die Normalform bringen. Die Normalform sieht so aus:

ax² + bx + c

also z.B. "31/32 - x/4 -x²/2" ist nicht in Normalform,

sondern die Normalform geht so:

-1/2 * x² - 1/4 * x + 31/32.

Bevor ich dir die Formel zeige, schreibe ich erst mal die Herleitung der Formel -- falls dich das interessiert -- falls nicht, lies einfach nach dem 2. Strich ("--------") weiter:

----------------

Von der Normalform ausgehend können wir eine allgemeine Formel für den Scheitelpunkt herleiten. Wir führen einfach den Lösungsweg, den wir oben bei den Aufgaben angewendet haben, an der allgemeinen Form durch:

ax² + bx + c

= a(x² + b/a * x + c/a)

= a(x² + b/a * x + (b/2a)² - (b/2a)² + c/a)

= a((x + b/2a)² - (b/2a)² + c/a)

= a(x + b/2a)² - b²/4a + c (allgemeine Scheitelpunktform)

--------------------

Wir haben also den allgemeinen Scheitelpunkt:

(-b/(2a) | -b²/(4a) + c)

Du solltest dir aber nur die x-Koordinate merken, also: -b / 2a. (Aufpassen: Das ist ein Bruch mit -b im Zähler und 2a im Nenner)

Die y-Koordinate des Scheitelpunkts kann man dann durch Einsetzen der x-Koordinate in die Parabelgleichung bekommen.

Damit kannst du dann dein Ergebnis auf Richtigkeit überprüfen.

Also, wenden wir mal die Formel auf deine Aufgaben an:

Aufgabe 1:

13/3 - 4x/3 + x²/3 /** erst in Normalform umwandeln! **/

= 1/3 * x² - 4/3 * x + 13/3

was sind jetzt hier a und b? a ist das, was vor dem x² steht, und b ist das, was vor dem x steht, und zwar immer mit Vorzeichen! Also:

a = 1/3

b = -4/3

Laut Formel ist nun die x-Koordinate des Scheitelpunkts einfach

-b / 2a = 4/3 / 2/3 = 4/3 * 3/2 = 12/6 = 2.

Supi, das selbe Ergebnis wie oben, nur viel einfacher. :-)

Und was ist jetzt die y-Koordinate des Scheitelpunkts?

Einfach die 2 in die Parabelgleichung einsetzen:

1/3 * x² - 4/3 * x + 13/3

= 1/3 * 2² - 4/3 * 2 + 13/3

= 4/3 - 8/3 + 13/3

= 9/3

= 3.

Super, stimmt auch.

Nun Aufgabe 2:

31/32 - x/4 - x²/2

= -1/2x² -1/4x + 31/32

also a = -1/2 und b = -1/4

dann ist -b / 2a = 1/4 / -1 = -1/4.

Oki, stimmt auch!

Und für die y-Koordinate einfach wieder einsetzen:

-1/2x² -1/4x + 31/32

= -1/2 * (-1/4)² - 1/4 * (-1/4) + 31/32

= -1/2 * 1/16 + 1/16 + 31/32

= -1/32 + 1/16 + 31/32

= -1/32 + 2/32 + 31/32

= 32/32

= 1.

Und noch ein Treffer ;-)

also ich würd sagen, die brüche zuerst alle erweitern sodass sie auf den selben nenner kommen...und dann wie gewohnt weiterrechnen..also ausklammern und bla^^

also bei aufgabe 2 hätt ich dann so erweitert dass alle nenner 32 ergeben...

oder aber alle brüche so kürzen dass sie auf den selben nenner kommen, also ich hätt jetz dann so gekürzt dass in jedem nenner 2 steht..

aber nich böse sein wenns nich stimmt^^

Mach doch einfach alles auf 32 gleich...

Also

-16x²/32 - 8x/32 + 31/32

So würd ich das wohl machen...