Was ist der Grenzwert von 12n?

Sweety, einfach mal überlegen, wie der Grenzwert definiert ist!

lim (an) (für n -> oo) = oo =(Def)

Für jedes noch so große M gibt es einen Index no, von dem an alle weiteren Folgenglieder an > M sind.

(Also für alle n > no gilt dann auch an > M)

Das ist hier ganz sicher der Fall.

Wir betrachten die Folge (an) = (12n) = {12; 24; 36; 48; ...}

Gegeben sei M (beliebig, aber fest)

Gibt es eine Stelle, von wo an an = 12n > M für alle weiteren n ist?

12n > M <=> n > M/12

Beispiel:

M1 = 100

12n > 100 <=> n > 100/12 = 8,33...

Ab no = 9 gilt die Aussage, ab dem 9. Glied sind alle Folgenglieder größer als 100

M2 = 3.000

12n > 3.000 <=> n > 3.000 / 12 = 250

Ab no = 251 gilt die Aussage, ab dem 251. Glied sind alle Folgenglieder größer als 3.000

Und das klappt jetzt für alle M, denn es gibt immer eine natürliche Zahl no, die größer ist als M/12. und von da an sind alle Folgenglieder dann größer als M.

Das aber ist die Definition für lim (n ->) an = oo

Du kannst Dir auch sagen:

Wenn n gegen oo geht, muss das Zwölffache erst recht gegen oo gehen, also über alle Maße wachsen.

@FHH

Ein Grenzwert MUSS NICHT erreicht werden. In diesem Fall geht das ohnehin nicht, weil oo keine Zahl ist.

(Definition s. oben!)

Übrigens war nicht nach der Folge (12^n) gefragt, sondern nach (an) = (12n), was aber an der Aussage nichts ändert. Nur bei (12^n) müsste man einen anderen Zusammenhang zwischen M > 0 und no herstellen.

Bei jedem Wert n ungleich unendlich ist auch der Wert für 12^n endlich und genau festgelegt. Einen Grenzwert erreichst Du erst, wenn n = unendlich ist, dann ist auch der Grenzwert unendlich.

Der Grenzwert gegen welchen Wert? Je größer n, desto größer der Funktionswert, je kleiner n, desto kleiner der Funktionswert, klar.