Wie soll ich zeigen, dass die Differenzenfolge (a_n - g ) eine Nullfolge ist´?

Eine Folge (an) heißt Nullfolge, wenn sie gegen 0 konvergiert, also

lim für n -> oo von (an) = 0

Für Deinen Beweis hast Du nun zwei Möglichkeiten:

1. Ausgehend von der Grenzwertdefinition

2. Unter Benutzung von Grenzwertsätzen

Zunächst fomen wir den Term um:

(a_n - g) = (3n - 2)/(n + 2) - 3

Um die Differenz zu bilden, müssen wir beide Ausdrücke gleichnamig machen:

(3n - 2) / ( n + 2) - 3(n + 2) / (n + 2) =

(3n - 2) / ( n + 2) - (3n + 6) / (n + 2) =

Jetzt lässt sich beides auf einem Bruchstrich zusammenfassen:

[(3n - 2) - (3n + 6)] / (n + 2) =

(3n - 2 - 3n - 6)/ ( n + 2) =

- 8 / (n + 2)

Und nun musst Du zeigen, dass

[ - 8 / ( n + 2)] eine Nullfolge ist

Dazu genügt es zu zeigen, dass [1/(n + 2)] gegen 0 konvergiert, denn das Produkt einer Konstanten mit einer Nullfolge ist wieder eine Nullfolge.

(1/ (n + 2)) -> 0 =(Def.)

Für alle € > 0 gibt es ein no, so dass für alle n mit n > no gilt

| 1 /(n + 2)| < €

<=>

1 / (n + 2) < €

<=>

1 < € * (n + 2)

<=>

1 / € < n + 2

<=>

1 / € - 2 < n

Sei € > 0 beliebig vorgegeben, so gilt die Aussage für alle

n > 1/€ - 2

(Jede natürliche Zahl no mit dieser Eigenschaft leistet das Verlangte)

Anmerkung: Ich habe das Euro-Zeichen für Epsilon gesetzt, da ich hier keine griechischen Buchstaben eintragen kann.