Treffen sich die Höhen im Dreieck ...?

Question

Stimmt es allgemein, dass in planaren (ebenen) Dreiecken gilt, dass die Höhen sich IMMER in einem Punkt treffen/schneiden?
Wenn ja warum?

Bitte nicht einfach nur ja oder nein schreiben!

mfg
Kiwi

matherwig · Accepted Answer

Zeichne dir ein Dreieck und seinen Höhenschnittpunkt H!
Dann bezeichnen wir die Vektoren HA = a, HB = b und HC = c.
Die Gerade durch A und H schneidet die Seite BC im Punkt D, die Gerade durch B und H die Seite AC im Punkt E.
Nun gilt: AD = ha, BE = hb, H = ha geschnitten mit hb.
AB = b - a
BC = c - b
CA = a - c

Wir zeigen nun: 
Sind AD und BE Höhen des Dreiecks, stehen also normal auf die Seiten BC und AC, dann steht auch HC normal auf AB => Höhe hc.

AD steht normal auf BC:
=> a*(c - b) = a*c - a*b  = 0
BE steht normal auf CA:
=> b*(a - c) = b*a - b*c = 0
Nun addieren wir beide Gleichungen:
=> a*c - a*b + b*a - b*c = 0
a*c - b*c = 0
c*(a - b) = 0
also steht a-b = BA normal auf c
Es ist also wirklich der Vektor c der Richtungsvektor der Höhe hc.

Anonym · Answer

sie treffen sich zwangslÃ¤ufig immer, da die winkelsumme stets 180Â°  bildet, allerdings kann der schnittpunkt auch auÃerhalb der geometrischen figur liegen.



:-)

Treffen sich die Höhen im Dreieck ...?

2 Antworten