Wie zeige ich Folgendes?

y²/y² = 3x²+2/7x²+2x

3x²+2/7x²+2x=1

3x²+2 ist immer kleiner als 7x²+2x. Das sieht man doch aber, lieber Wallenstein. Liebe Grüße

Diophantische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variablen ganze Zahlen sind. Dadurch ergeben sich meist starke Einschränkungen für die Lösungsmenge. Bekanntestes Beispiel für ganzzahligen Lösungen von a² + b² = c² ist a=4, b=3, c=5.

Dein erstes Beispiel: y² = 3x² + 2. Setze c²= y², a²=3x², b²=2. Wurzel aus (3x²) und Wurzel aus 2 können nicht ganzzahlig sein.

Wenn man obige Gleichung zu a^n + b^n = c^n erweitert, erhält man eine diophantische Gleichung, von der Fermat vor 400 Jahren behauptet hat, dass sie für n>2 keine ganzzahlige Lösung besitzt, außer den trivialen Lösungen, bei denen eine der Zahlen null ist, was erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen wurde (Fermats letzter Satz).

Dein zweites Beispiel: Zeige, dass die Gleichung y³ = 7x² + 2x keine ganzzahligen Lösungen hat. Setze y³ = a³ + b³ mit a³ = 7x² und b³ = 2x.

Sieh mal in dem u.g. Skript nach, S. 78, Diophantische Gleichungen. Ich habe versucht, das dort aufgeführte Beispiel auf Dein zweites Beispiel zu übertragen:

"Ist eine ganze Quadratzahl, Kubikzahl usw. Produkt teilerfremder Zahlen, so sind die Faktoren ebenfalls Quadratzahlen, Kubikzahlen usw."

Es ist y³ = (7x + 2)(x + 0) Die beiden Faktoren auf der rechten Seite sind teilerfremd. Es sei p ein Primfaktor von x. Da 7x + 2 und x teilerfremd sind, steckt p³ in genau einem der Faktoren. Daher sind 7x + 2 und x selbst Kubikzahlen: 7x + 2 = a³ und x = b³, also a³ - b³ = 6x +2. Weiterrechnen führt auf Widerspruch:

Für a=2 und b=0 wäre x=1, aber auch gleichzeitig 0.

Hallo, Wallenstein,

erst mal zu Deiner Fragestellung.

Du möchtest die Begründung für etwas, was nicht sauber formuliert ist.

Was verstehst Du unter der Aussage:

DIE Gleichungen haben keine ganzzahligen Lösungen?

Das sind zwei Gleichungen:

1. 3x² + 2 = y² und

2. 7x² + 2x = y³

Die erste Gleichung beschreibt eine Hyperbel:

3x² - y² = - 2 bzw.

2 = y² - 3x², also

1 = y²/2 - x²/(2/3)

Die zweite Gleichung ist kein Kegelschnitt.

y³ = 7x² + 2x

Hier könnte ich aber sofort eine Lösung aus einem Paar ganzer Zahlen angeben: (0; 0)

Denn für x = 0 und y = 0 ergibt sich die wahre Aussage: 0 = 0

Solltest Du aber Paare (x;y) mit x, y€ Z suchen, die BEIDE Gleichungen gleichzeitig erfüllen, dann sollte Deine Frage lauten:

Wie zeigt man, dass das Gleichungssystem:

I 3x² + 2 = y²

II 7x² + 2x = y³

kein Paar ganzzahliger Zahlen als Lösung hat?

setz mal Zahlen ein .

Für x beispielsweise 4 und für y 3. Das bei beiden Gleichungen.Und dann guck einfach ob sich die Ergebnisse unterscheiden oder nicht.Wenn nicht,dann hast du ja die Begründung .

Hier:

1. Gleichung : 3*4² +2 =3² =50=9

Bei der zweiten genau so.

Was meinst Du mit "zeigen"?

Grafisch kannst Du die beiden Gleichungen jeweils in einem Koordinatensystem darstellen, die Schnittpunkte der beiden Kurven sind die möglichen Resultate.