Berechnung von zwei parallelen Tangenten?

@h&m_girl

Ihr habt beide Recht.

Man kann Nullstellen raten und anschließend eine Polynomendivision durchführen.

In diesem konkreten Fall kann man das aber auf die p-q-Formel zurückführen:

0 = 3x^4 - 5x² + 2 | : 3

0 = x^4 - 5/3 x² + 2/3, also

0 = (x²)² - 5/3x² + 2/3

(x²)1/2 = 5/6 +/- wurzel(1/36) = 5/6 +/- 1/6

(x²)1 = 1

(x²)2 = 2/3, also:

x1 = 1

x2 = - 1

x3 = wurzel(2/3)

x4 = - wurzel(2/3)

parallel sind die Tangenten genau dann, wenn die steigung der Funktion in dem Punkt gleich ist. Also muss man als erstes die Funktionen ableiten und dann gleichsetzen:

f(x)=2/x=2x^-1

f'(x)=-2x^-2=-2/x²

g(x)=x³-5x

g(x)=3x²-5

gleichsetzen:

-2/x²=3x²-5

-2=3x^4-5x²

0=3x^4-5x^2+2

Nullstellen raten:

geraten : x=1

Polynomdivision:

(3x^4-5x^2+2):(x-1)=3x^3 + 3x^2 - 2x - 2

erneutes Raten:

geraten x=-1

(3x^3 + 3x^2 - 2x - 2) : ( x+1) = 3x^2 - 2

So jetzt mit der Mitternachtsformel oder ABC- Formel die letzten 2 Nullstellen berechnen:

x_1=1

x_2=-1

x_3=(0+sqrt(24))/6=0,81649

x_4=(0-sqrt(24))/6=-0,81649

Jetzt setzt du die x werte in die beiden Funktionen ein und erhälst den Funktionswert:

=>

P_1(1/2) , Q_1(1/-4)

P_2(-1/-2), Q_2(-1/4)

P_3(0,8/2,5), Q_3(0,8/-3,488)

P_4(-0,8/-2,5), Q_4(-0,8/3,488)

edit:

@h&m girl:

Man muss eine Nullstelle raten um die Polynomdivision durchführen zu können. Diese Polynomdivision ist eben notwendig wenn man Gleichungen, die höhere Polyonome als

3 haben lösen will( Gleichungen Polynom 3. Grades kann man mit vorhandenen Kenntnissen der komplexen Zahlen auch lösen). Außer man kann Ausklammmern bzw. Substituieren. In deinem Fall könnte man bei :

0 = (x²)² - 5/3x² + 2/3

x²=u

substituieren und erhält:

0=u²-5/3u+2/3

Jetzt lösen mit der pq-formel oder womit auch immer:

u_1=(5/3+sqrt(1/9))/2=(5/3+1/3)/2=1

u_2=(5/3-sqrt(1/9))/2=(5/3-1/3)/2=2/3

jetzt resubstituieren:

1.

u=x²

=>

1=x²

=>

x_1=1

x_2=-1

2.

u=x²

2/3=x²

=>

x_3=sqrt(2/3)

x_4=-sqrt(2/3)

kommt also aufs gleiche raus, egal wie man´s macht.

Prinzipiell steht dort die Frage: "Wann haben die beiden Funktionen die selbe Steigung bei gleichem x-Wert?" (Was eine recht triviale Frage ist: f'(x0)=g'(x0)).

Also, Ableitungen bilden, nach x0 auflösen, x0 ausrechnen und dann die dazu passenden Funktionswerte berechnen. Fertig.

Viel Spaß.