Wie berechnet man orthogonale Tangenten?

Mein Vorredner hat schon ne korrekte Lösung präsentiert, wenn unsere Aufgabeninterpretationen korrekt waren. Trotzdem hier noch ne Alternative - etwas anders - kommt aber quasi aufs gleiche raus...

Wenn ich die Aufgabenstellung also richtig interpretiere, dann soll t ein Faktor sein mit dem die Funktion multipliziert werden soll!?

Davon gehe ich jetzt mal aus, hoffe das ist korrekt...

Dazu kann man dann nämlich sagen, dass die x-Achsendurchgänge - also Nullstellen - quadratischer Funktionen von einem Vorfaktor unabhängig sind.

Der Beweis ist schnell und einfach: Um die Nullstellen zu berechnen wird f(x) = 0 gesetzt. Hat man nun t*f(x) = 0 kann man durch t teilen und der Vorfaktor verschwindet.

Soweit der erste Schritt, allerdings ändert eine Funktion ihre Streckung, also die "Steilheit" der Parabeläste, mit einem Vorfaktor, was wiederum Auswirkung auf die Tangenten hat.

Ändert der Vorfaktor sein Vorzeichen, dreht die Parabel "auf den Kopf". Für die Tangenten bedeutet dies, daß sie dann umgekehrte Steigungen im jeweiligen Punkt aufweisen müssen.

Sollen die Tangenten nun orthogonal zueinander liegen UND durch die Nullstellen der Funktion verlaufen, so müssen aufgrund der symmetrischen Eigenschaften der quadratischen Parabel die Steigungen der Tangenten jeweils +1 bzw. -1 sein.

Soweit die Überlegungen zu den Randbedingungen, die die Sache

vereinfachen sollten.

Die Bestimmung der Nullstellen liefert für f(x)=x²-5x+4

x(1) = 1 und x(2) = 4.

Dies sind gleichzeitig auch jeweils Punkte durch die die Tangenten laufen müssen.

Es folgt also, daß in Punkt (1/0) die Funktion die Steigung -1 und in Punkt (4/0) die Steigung +1 aufweist bzw. umgekehrt bei negativem Vorzeichen von t.

Da die erste Ableitung einer Funktion die Steigung der Funktion angibt, braucht man also lediglich nach einem Faktor t suchen, der dafür sorgt, daß die erste Ableitung der Funktion t*f(x) im Punkt

(1/0) = -1 und im Punkt (4/0) = +1 wird bzw. -t*f(x) im Punkt

(1/0) = +1 und im Punkt (4/0) = -1 ergibt.

Da beim Ableiten Vorfaktoren einfach "mitgenommen" werden, gilt für die erste Ableitung von t*f(x): f'(x) = t*(2x-5) bzw. -t*(2x-5).

Die Ableitung f'(x) soll für positives t im Punkt (1/0) = -1 und in (4/0) = +1 sein, so folgt:

f'(1) = -1 und f'(4) = +1

-1 = -3*t und +1 = 3t

t = 1/3 bzw. t = -1/3

Für die Tangente v durch (1/0) gilt dann über die Geradengleichung

y=mx+b:

0=-1*1+b, also b = 1, somit v(x) = -x+1

und für Tangente w durch (4/0) gilt äquivalent betrachtet:

0=1*4+b, also b = -4, somit w(x) = x-4.

Zur Vervollständigung:

Für negatives t ergeben sich die Geradengleichungen:

v(x) = x-1 und w(x) = -x+4.

Zusammenfassung zur Übersicht:

Zwei Fälle:

1.)

t*f(x) = (1/3) * (x²-5x+4)

für die Tangenten gilt:

v(x) = -x+1 und w(x) = x-4

2.)

t*f(x) = -(1/3) * (x²-5x+4)

für die Tangenten gilt:

v(x) = x-1 und w(x) = -x+4

That's all...

Die Formulierung der Frage ist etwas kompliziert. Ich habe auch etwas Zeit gebraucht, bis ich die Frage verstanden habe. Die Tangenten in den beiden Nullstellen sollen also aufeinander normal stehen:

Dazu brauchen wir zuerst die allgemeine Steigung, also bilden wir die 1. Ableitung.

ft´(x) = t*(2x - 5)

Die Nullstellen der Funktionsgleichung sind x1 = 4 und x2 = 1

=> ft´(x1) normal auf ft´(x2)

Zwei Steigungen, die einen rechten Winkel bilden, erfüllen die Gleichung m1*m2 = -1

=> t*(2*4 - 5)*t*(2*1 - 5) = -1

3t*(-3t) = -1

9t² = 1

t² = 1/9

t1,2 = +- 1/3

Probe für t = 1/3:

ft´(4) = 1/3*(2*4 - 5) = 1

ft´(1) = 1/3*(2*1 - 5) = -1

ft´(4)*ft´(1) = -1

also stehen die beiden aufeinander normal.