Wie löse ich ein diophantisches Gleichungssystem?

Question

Hallo,

meine Frage ist, wie man ein lineares diophantisches Gleichungssystem der Form 

ax + by + cz = d
ex +  fy + gz = h 

löst. Wahrscheinlich muss man eine Variable eliminieren aber wie gehts dann weiter? Danke allen Antwortern.

Melishe · Accepted Answer

Die Lösung wird einen Parameter enthalten, dazu kann man die geometrische Erklärung heranziehen: eine Gleichung in drei Unbekannten entspricht einer Ebene, wenn man zwei Ebenen schneidet, dann ergibt sich eine Gerade als Lösung. Diese hat einen Parameter.

Also: 1. Schritt: eine Unbekannte eliminieren
2. Schritt: eine der beiden verbleibenden als Parameter setzen (z.B. 
x = t)
3. Schritt: die dritte durch den Parameter ausdrücken
4. Schritt: die erste (eliminierte) auch durch den Parameter ausdrücken

Abschluss: Lösung alphabetisch anordnen

zB. 4x + 5y -z = 11 und x - y + z = 1

1. Schritt: durch Addition z eliminieren: 5x + 4y = 12
2. Schritt x = t
3. Schritt: 4y = 12 - 5t oder y = 3 - 1,25t
4. Schritt (ich setze in die zweite Gleichung ein)
t - 3 + 1,25t + z = 1 oder z = 4 - 2,25 t

Abschluss:
x = 0 + t
y = 3 - 1,25 t
z = 4 - 2,25 t

das kann man auch in Vektorform schreiben:

x-Vektor = (0/3/4) + t (1/-1,25/-2,25), wobei natürlich die Klammern senkrecht zu schreiben sind: die übliche Form einer Geradengleichung in R³

Wie löse ich ein diophantisches Gleichungssystem?

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