Ist die Gleichung 1/(1+x²) = Exp(-x²) lösbar?

Question

Die Lösung ist x=0, das ist durch den Schnittpunkt der Graphen (und Einsetzen in die Gleichung) klar, aber kann man es analytisch lösen? Ich drehe mich mit Logarithmen immer im Kreis.
Und bitte... keine Ich-kann-es-nicht-Antworten!

1/i = -i · Accepted Answer

1/(1+x²) = exp(-x²)

-> log(1/(1+x²)) = -x²
-> log(1) - log(1+x²) = -x²
-> -log(1+x²) = -x²
-> log(1+x²) = x²
-> (1+x²) = e^x²
-> 1 = e^x² - x²

nun weis man, das x^n = 1 wenn n = 0 ist ...
d.h. x muss Null sein, damit die Gleichung erfüllt ist.
nur nach x umstellen kann man die gleichung anscheinend nicht. Solche Gleichungen gibt es.

Coconuss · Answer

Ich hab die Gleichung probeweise in einige Algebrasysteme eingegeben, aber keines hat eine LÃ¶sung ausgespuckt. Diese Gleichung ist wohl tatsÃ¤chlich transzendent.

🐟 Fish 🐟 · Answer

Habs erst mal anhand einer Wertetabelle angeschaut. Eine LÃ¶sung x=0 gibt es auf jeden Fall. Beide Konvertieren fÃ¼r |x| gegen 0 Exp allerdings stÃ¤rker
Kannst also davon augehen es gibt 3 LÃ¶sungen
x=0, x=oo und x=-oo

Ist die Gleichung 1/(1+x²) = Exp(-x²) lösbar?

3 Antworten