Ist der Grenzwert des Kehrwertes einer Funktion gleich dem Kehrwert des Grenzwertes der Funktion?

Das gilt im Allgemeinen nicht.

Beispiel:

Die Funktion f : R -> R mit f(x) = x.

lim f(x) für x -> 0

= lim x für x -> 0

= 0

Lauf Hypothese sollte der Grenzwert von 1/f(x) der Kehrwert sein also 1/0. Dieser Wert ist in der Frage als „unendlich“ definiert.

lim 1/f(x) für x -> 0

= lim 1/x für x -> 0

= nicht definiert.

Also ein Widerspruch zur Hypothese.

Die Hyperbel „springt“ an der Stelle x = 0 von „+unendlich“ nach „-unendlich“. Ein Grenzwert kann nicht angegeben werden. An der Stelle x = 0 kann ein rechtsseitiger und ein linksseitiger Grenzwert angegeben werden. Dann ist aber der linksseitige Grenzwert „-unendlich“. Auch falsch im Vergleich zu dem „unendlich“.

Wenn beide Folgen 1/f(x) und f(x) konvergieren, dann kann die Grenzwertbildung und der Kehrwert vertauscht werden.

Ist eine der beiden Folgen nicht definiert (z. B. können Werte f(x) = 0 in der Folge auftreten, auch wenn der Grenzwert ungleich Null ist, was in der Folge 1/f(x) zu undefinierten Werten führt), dann muss der Zusammenhang nicht gelten.

Die „Falle“ ist, dass die Funktion x -> 1/x bei 0 einen Sprung hat, also eine unstetige Funktion ist.

Die Aussage g( lim f(x) ) = lim g(f(x)) mit einer Funktion g, die auf dem gesamten Wertebereich von f stetig und bijektiv ist müsste gelten. Also x -> x³ wäre eine Möglichkeit. Dagegen x -> x² nicht, weil die Funktion nicht bijektiv ist. x -> 1/x scheidet aus, weil die Funktion nicht stetig ist.

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Danke Wurzelgrnom für Deine ausführliche Diskussion und lehrreichen Korrekturen.

Die Eineindeutigkeit habe ich gefordert, damit beide Grenzwerte existieren. Beispiel: Eine Funktion f(x) := { -1 für Ganzzahl(x) = gerade, sonst +1 } konvergiert nicht für x gegen unendlich. Dagegen ist die Funktion f²(x) konstant und konvergiert gegen +1.

Prinzipiell gilt:

Der Grenzwert des Kehrwert ist der Kehrwert des Grenzwerts,

WENN dieser Grenzwert NICHT 0 ist.

Den Kehrwert von 0 als oo zu betrachten, kann tödlichst sein.

Einfaches Gegenbeispiel:

f(x) = x

g(x) = 1/x

Die Funktion g hat in x = 0 keinen Grenzwert, da der linksseitige Grenzwert - oo ist und der rechtsseitige Grenzwert gleich oo.

Ganz verrückt wird es nun für:

f(x) = x * sin (1/x)

f ist ein Produkt zweier Funktionen.

f1 = x und f2 = sin(1/x)

f1 strebt für x-> 0 gegen 0

f2 ist beschränkt

Das Produkt strebt also auch gegen 0

g = 1/f verhält sich nun aber in der Umgebung von 0 ganz verrückt

während 1/f1 einen linksseitigen und einen rechtseitigen Grenzwert hat (siehe oben),

oszilliert sin (1/x) in der Nähe von 0 ständig zwischen

1 und - 1

Die Hüllkurve strebt gegen oo bzw.- oo, dazwischen oszilliert die Kurve - und zwar immer schneller, je dichter man an 0 heran kommt.

@Ford Prefect

P4 hat Recht, nur einen kleinen Ausdrucksfehler.

Es muss heißen:

"weil die Funktion in xo = 0 nicht stetig ist"

bzw.

"weil es eine in xo = 0 unstetige Funktion ist"

Eine Funktion heißt "stetig" oder "stetige" Funktion, wenn sie in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist.

Aber sie kann durchaus Unstetigkeitsstellen haben, wie dieses Beispiel zeigt.

Allerdings würde ich nicht von Folgen sprechen, sondern allgemeiner von Funktionen, da ich unter einer Folge nur Funktionen verstehe, deren Definitionsbereich Teilmenge von N ist.

@P4

Die Forderung, eindeutig umkehrbar zu sein, kannst Du auch bei verketteten Funktionen fallenlassen.

Wenn f(x) in xo den Grenzwert g hat, dann hat ф mit

ф(x) = f² (x) = [f(x)]² in xo den Grenzwert g²

@Ford Prefect

Noch mal gaaaaanz langsam zum Mitschreiben:

EINE mögliche Definition der Stetigkeit einer Funktion f an einer Stelle xo

1. f ist in xo definiert

2. f hat in xo einen Grenzwert g

3. Grenzwert und Funktionswert stimmen überein.

Die Funktion f ist in xo nicht stetig, wenn mindestens eine dieser drei Forderungen nicht erfüllt ist.

1. f(xo) existiert nicht

(mit anderen Worten: xo gehört nicht zum Definitionsbereich von f)

2. f hat in xo keinen Grenzwert

3. Grenzwert und Funktionswert existieren zwar, stimmen aber nicht überein.

Eine Funktion f heißt stetige Funktion, gdw. f im gesamten Definitionsbereich stetig ist.

Das heißt im Klartext:

Eine Funktion kann eine stetige Funktion sein, trotzdem aber Unstetigkeitsstellen haben. Diese liegen dann nicht im Definitionsbereich der Funktion.

Genau das trifft auf die Funktion f mit y = f(x) = 1/x zu.

f ist stetig in X(f) und damit eine stetige Funktion.

f ist nicht stetig in xo = 0.

Also: f ist eine stetige Funktion, die in xo=0 eine Unstetigkeitsstelle hat.

Und noch mal ganz deutlich:

Vor den Sarkasmus hat der Liebe Herrgott das Nachdenken gesetzt.

Welchen Grenzwert meinst du? Nach deinem Beispiel schätze ich, dass du den Grenzwert für x gegen 0 berechnest.

Hier ein kurzer allgemeiner Beweis: (lim immer für x gegen a, mit a beliebig, aber fest)

lim(1/f) = lim(1) / lim(f) = 1 / lim(f)

Ich habe nur die Rechenregeln des Grenzwertes angewandt, und dass lim(1) = 1 sollte klar sein. Deine Behauptung stimmt also.

@P4: Du hast natürlich in diesem speziellen Fall Recht, allerdings ist die Aussage

"Die „Falle“ ist, dass die Funktion x -> 1/x bei 0 einen Sprung hat, also eine unstetige Funktion ist."

falsch. Eine Funktion kann an einer Stelle außerhalb ihres Definitionsbereichs nicht unstetig sein. Ich beschränke also - was ich vergessen habe zu erwähnen - meine Konstante a auf den Definitionsbereich von f, womit die Rechnung wieder stimmt.

@Wurzelgnom: Und 0 ist deiner Meinung nach im Definitionsbereich von f: x->1/x ? Du sollst doch nicht heimlich durch 0 teilen...