Eine kleine Quadrat - (ur) - knobelei?

Question

Langsam wird es in der Zwergenwerktstatt richtig romantisch.
Jetzt sollen wir auch noch die Fenster bunt gestalten und Rupprecht hat gesagt, dass ich das ausrechnen muss.

Also: In der Mitte ein buntes Quadrat der Seitenlänge a.
Das soll von einem andersfarbigen Kreis umschrieben werden.

Und nun kommt es: 
In die vier abgeschnittenen Kreissegmente soll ich jetzt noch je ein möglichst großes buntes Quadrat einsetzen.

Und nun sitzt der kleine Wurezlgnom hier - mit dem Glasschneider in der Hand - und weiß nicht, wie groß so ein Quadrat sein muss.

matherwig · Accepted Answer

Die Aufgabe schaut ärger aus als sie wirklich ist. Im ersten Moment glaubt man, eine Extremwertaufgabe vor sich zu haben. Aber es gibt nur ein mögliches eingeschriebenes Quadrat, das wirklich 2 Punkte auf dem Kreis hat.
Ich nenne nun den Radius des Kreises r = a/2*Wurzel(2) nach Pythagoras. Die Seite des kleinen Quadrats nenne ich b. Dieses Quadrat muss genau in der Mitte der Seite a liegen, d.h. jeweils b/2 liegt links und  rechts vom Mittelpunkt der Seite a.
Nun kann ich ein rechtwinkeliges Dreieck bilden mit den Seiten:
r vom Mittelpunkt des Kreises zu einem äußeren Eckpunkt des kleineren Quadrats, von dort zum Mittelpunkt der äußeren Seite des Quadrats (= b/2) und von dort zurück zum Mittelpunkt des Kreises (= a/2 + b): Nun Pythagoras:
r² = (a/2 + b)² + (b/2)²
2*a²/4 = a²/4 + ab + b² + b²/4
5b²/4 + ab - a²/4 = 0
5b² + 4ab - a² = 0
b1,2 = (-4a +- Wurzel(16a² + 20a²))/10
b1,2 = (-4a +- 6a)/10
b1 = -a  und b2 = a/5
b1 kommt natürlich sinnvollerweise nicht als Lösung in Frage.
Die kleinen Quadrate haben daher die Seitenlänge a/5.

Mimas · Answer

Na dann geb ich auch mal 'nen Tipp ab.
Also Pi mal Daumen sollte b 1/5 von a betragen. (b=SeitenlÃ¤nge der kl. Quadrate)
Sollte einigermaÃen hinkommen...
... das miÃt doch eh keiner nach... ;o))

Regi · Answer

Ich wÃ¼rde das wie folgt lÃ¶sen (allerdings kommt nicht gaaanz genau das richtige raus, das Ergebnis ist also gerundet).

Wenn jede Seite des Quadrats a ist, dann muss der Durchmesser des Kreises auÃen herum die Wurzel aus aÂ² + aÂ² sein (Pythagoras). Von diesem Durchmesser muss man die SeitenlÃ¤nge a abziehen und das was Ã¼brig bleibt durch 2 teilen (weil es ja "oben" und "unten" Ã¼brig bleibt). Das wÃ¤re dann die maximale HÃ¶he eines solchen Quadrats, aber da es so keine Breite hÃ¤tte, muss man ein bisschen etwas von dieser HÃ¶he abziehen und genau in der Mitte dieses Kreissegments die HÃ¤lfte von dieser HÃ¶he nach rechts und die andere HÃ¤lfte nach links gehen ... dann hast du es!

Oh mein Gott, ich glaube so kapiert das kein Mensch xD

also nochmal in "kurz"

q= [(Wurzel aus aÂ² + aÂ²) - a ] : 2

q ist die SeitenlÃ¤nge eines solchen Quadrats --> qÂ² ist der FlÃ¤cheninhalt.


Lg

Anonym · Answer

Mathematisch weiÃ ich es nicht, aber handwerklich kann ich dir helfen:
Mach ein kleines Quadrat (0,25qmÂ²) dann machst du einen passenden Kreis, der dieses Quadrat umschreibt. (Muss nicht unbedingt ein Kreis sein, kann auch oval fÃ¶rmig sein!).AnschlieÃend schneidest du wieder ein paar Segmente aus und schaust, dass es hinkommt.

PS: Vorsicht beim Glasschneiden.

Edit: Dann misch ihm eine Schlaftablette zwischen das Essen :D.

Eine kleine Quadrat - (ur) - knobelei?

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