Berechnung von Schnittpunkt einer Gerade mit einem Kreis.?

Question

Ich habe ein problem mit dem thema kreise in der Ebene und zwar lautet die Aufgabe:
Berechne die Schnittpunkte der Gerade g mit dem Kreis k.


a) g:x=(2über1) + t (3über -1), k:(x-(2über2))²=9

Und als Anleitung steht da: Ist k:(x-m)²=r² der Kreis und g:x=p+tu die Gerade, dann ist die Gleichung (p+tu-m)²=r² zu lösen; dies ist eine quadratische Gleichung für t.


Irgendwie verstehe ich das noch nicht so ganz kann mir jemand gut erklären wie man das letztendlich berechnet? Oder vielleicht kennt jemand eine Seite wo das gut erklärt wird!
Ich wäre wirklich dankbar über eure Hilfe :-)

Lg Anne

asimov · Accepted Answer

erst musste ich ein bischen überlegen , was permutation hier bei kreise zu suchen hat. 
aber du meinst mit 2 über2 bestimmt ein vektor (2 , 2 ) 
demnächst schreibe es entweder als (2 , 2 ) 
oder als (2i + 2j) und in 3 dimensionen (1i + 2j + 3k) oder so.

da wir schnittpunkte suchen dann setzt du für [X] in kreisgleichung die gleichung von grade hinein

[ (2i + j) + t( 3i - j ) - (2i + 2j ) ] ² = 9
[ (0 - j ) + t( 3i - j ) ] ² = 9
hier haben wir 2 vektoren in form a+b und wir suchen (a+b)²
1te binomische formel anwenden und  a² + 2ab +b²
und bei ein skalarprodukt das ergebniss hat keine richtung , (nur eine grosse)

(0 - j) ² = 1  das ist a²
t(3i -j)² = t² * (9+1) = 10t² , das ist b²
2 * (0-j) * t(3i - j) = 2t , das ist 2ab
dann hast du 
1 + 10t² + 2t = 9
eine quadratische gleichung für t
setze die lösungen in grade ein und dann hast du die schnittpunkte

dr. jekyll · Answer

Hi, Anne,

die LÃ¶sungen und den LÃ¶sungsweg haben rauchers und matherweg ja schon prima beschrieben.

Wenn du auch noch verstehen willst, was da gerechnet worden ist, empfehle ich dir eine Zeichnung:

g: x = (2 | 1) + t (3 | - 1) ist eine Gerade, die durch P(2 | 1) geht und den Richtungsvektor [ 3 | - 1) hat.

Also zeichnest du dir ein Koordinatensystem auf und trÃ¤gst den Punkt P ein. Dann von dort 3 Einheiten nach rechts und eine Einheit nach unten. Das ist dann der Verlauf der Geraden.

k: [ x - ( 2 | 2)]Â² = 9 = 3Â²

Das ist ein Kreis um den Punkt M ( 2 | 2) mit dem Radius r = 3.

Den zeichnest du mit ein und dann kannst du erkennen, dass die berechneten LÃ¶sungen von matherweg richtig sind.

matherwig · Answer

g: x = (2/1) + t*(3/-1)   und k: (x - (2/2))Â² = 9
Wir ersetzen das x in der Kreisgleichung durch das aus der Geradengleichung, d.h. wir setzen die beiden Gleichungen gleich.
((2/1) + t*(3/-1) -(2/2))Â² = 9
((0/-1) + t*(3/-1))Â² = 9
(0 + 3t)Â² + (-1 - t)Â² = 9
9tÂ² + 1 + 2t + tÂ² = 9
10tÂ² + 2t - 8 = 0
t1,2 = (-2 +- Wurzel(2Â² - 4*10*(-8))/(2*10)
t1,2 = (-2 +- 18)/20  => t1 = -1   und t2 = 4/5 = 0,8.
Nun setzen wir nur mehr beide Werte  fÃ¼r t in die Geradengleichung ein:
t1 = -1:  x = (2/1) - 1*(3/-1) = (2/1) + (-3/1) = (-1/2) = 1. Schnittpunkt
t2 = 0,8: x = (2/1) + 0,8*(3/-1) = (2 + 2,4/1 - 0,8) = (4,4/0,2) = S2

Berechnung von Schnittpunkt einer Gerade mit einem Kreis.?

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