Eine kleine Nüsse-Knobelei?

@Porky:

Ich glaube nicht, dass sich unser Wurzelgnom mit solch banalen Rechnungen begnügt, der will das bestimmt ein wenig exakter....

Schön wäre es also, ohne Taschenrechner auszukommen, nehme ich mal an, und am besten nur mit den absoluten Grundkenntnissen.

EIn bisschen was setze ich aber doch voraus:

Ich benutze folgende Formel:

2cos(a)cos(b) = cos(a-b)+cos(a+b)

Nun zur Aufgabe:

8*cos80° * cos40° * cos20° =

= 2*cos80° * cos40° * 4 * cos20° = [hier obige Formel]

= (cos120° + cos40°) * 4 * cos20° = ...

[= ( -0,5 * cos40° ) * 4 * cos20° =

HIER: in der Klammer muss statt * ein + stehen... liegt beides auf derselben Taste, nur "SHIFT" dazu.... tja. KLeiner Fehler, danke für den Hinweis! also richtig weiter: ]

... = ( -0,5 + cos40° ) * 4 * cos20° =

= 2 * 2 * cos40° * cos20° - 2 * cos20° = [hier obige Formel]

= 2 * (cos60° + cos20°) - 2 * cos20° =

= 2 * cos60° + 2 * cos20° - 2 * cos20° =

= 2 * cos60° =

= 1

Man muss also nur die Kosinuswerte der Winkel 120° und 60° wissen, aber die gehören ja bekanntlich zu den "bequemen" Winkeln 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, und wegen cos(a) = - cos(180°-a) also auch 120°...

Ich hoffe ich muss die obige Formel nicht beweisen, das müsst ich mir dann noch genauer anschauen. Folgt jedenfalls direkt aus den beiden Additionstheoremen für cos(a+b) und cos(a-b), nur die Beweise für die beiden hab ich nicht direkt parat....

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)

cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)

Einen Kosi-Nuss Kuchen?

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LG Porky ;)

cos80° = 0,173...

cos40° = 0,766...

cos20° = 0,939...

0,173... x 0,766... x 0,939... = 0,125

0,125 x 8 = 1