prozentuale wachstumsrate?

Question

Also wir haben heute in Mathe ein neues Thema angefangen und dazu auch aufgaben bekommen. Die ersten waren auch kein problem aber jetzt sollen wie erklären , warum  man die Regel dafür auch häufig in dieser form findet:
Als faustformel für die berechnung der verdopplungszeit d bei einer prozentualen wachstumsrate vom p% kann man die formel von p*d =72 verwenden (nur gültig bei prozentsätzen bis etwa 12%)

könnt mir das vllt. jemand erklären? ich versteh nicht, wie man da so etwas berechnen soll. darauf baut nämlich die nächste aufgabe auf.
danke

Anonym · Accepted Answer

1. Variante es zu zeigen:

p ist die Angabe in Prozent.

Der Wert Wo ist am Anfang vorhanden. Nach einem Jahr gibt es W(1):
W(1) = Wo * ( 1 + p/100 )

Nach n Schritten sind es
W(n) = Wo *  ( 1 + p/100 ) * ... *  ( 1 + p/100 )
W(n) = Wo *  ( 1 + p/100 ) ^n

Gefragt ist nach der Anzahl der Schritte n = d bis es eine Verdoppelung gibt, bis W(d) = Wo * 2. Also weiter umformen bist 
W(d) =  Wo * ( 1 + p/100 ) ^d
W(d) / Wo =  ( 1 + p/100 ) ^d
2 =  ( 1 + p/100 ) ^d

Das d im Exponenten wird durch Logarithmieren [1] zugänglich
ln(2) = ln( ( 1 + p/100 ) ^d )
ln(2) = d * ln( 1 + p/100 )       [A]

Für den natürlichen Logarithmus gibt es die Darstellung
ln( 1 + x ) = x - x²/2 + x³/3 - ...     [B]

In der Gleichung  [A] wird der Logarithmus ln( 1 + p/100 ) benötigt. Wird zur Berechnung die Darstellung [B] benutzt, so ist x = p/100
Damit ist x klein gegenüber 1. Dann ist x² "viel kleiner als 1" und  x³ ist "sehr viel kleiner als 1".
Diese kleinen Zahlen können vernachlässigt werden. Ist x klein gegenüber 1, dann ist ungefähr
ln( 1 + x ) = x
Also
ln( 1 + p/100 ) = p/100

Die Funktion ln( 1+p/100 ) war in komplizierter Weise von p abhängig. Die Näherung p/100 ist wesentlich einfacher, sie ist linear abhängig von p. Daher wird dieser Methode lineare Näherung oder Linearisierung genannt.

Diese Näherung in Formel eingebaut
ln(2) = d * ln( 1 + p/100 ) 
ln(2) = d * p/100
p * d = 100 * ln(2)
p * d = 69,31

Also ist eine Faustregel p *d = 70. Das ist nicht p * d = 72, die angegebene Faustformel, aber auch diese Faustformel findet sich im Internet [2]. Die p * d = 70 Formel ist genauer für kleine Prozentzahlen, p unter 5.


2. Variante es zu zeigen:

Der Zusammenhang gilt ohne Näherung
ln(2) = d * ln( 1 + p/100 ) 
d = ln(2) / ln( 1 + p/100 ) 

Jetzt kann das Produkt p*d für Werte von p = 1, 2, 3, .. 12 ausgerechnet werden. 
p = 1     p*d = 69.66072
p = 2     p*d = 70.00558
p = 3     p*d = 70.34932
p = 4     p*d = 70.69195
p = 5     p*d = 71.03350
p = 6     p*d = 71.37397
p = 7     p*d = 71.71338
p = 8     p*d = 72.05175
p = 9     p*d = 72.38909
p = 10    p*d = 72.72541
p = 11    p*d = 73.06073
p = 12    p*d = 73.39506

An den Zahlen für das Produkt zu sehen ist, dass der Wert von p*d zwischen 70 und 74 liegt. Also ist p*d = 72 eine brauchbare Faustformel.

prozentuale wachstumsrate?

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