Messpunkte fitten mit einer Differentialgleichung?

Question

Gegeben sind Messpunkte (x1;y1), … (xn;yn).
Mit einer einfachen Parametergleichung ist es dann ja kein Problem,  die besten Parameter zu ermitteln und eine gefittete Funktion zu  plotten.

Was aber, wenn man nur eine nicht analytisch lösbare Differentialgleichung y(x)=g(y(x), y‘(x)) zum „fitten“ hat? Wie kriegt man dann die optimale Funktion y(x) heraus, die die Differentialgleichung erfüllt?

Ihr könnt mich auch gerne an ein gutes anderes Forum verweisen. Danke.

Anonym · Accepted Answer

Wenn die Differentialgleichung nicht analytisch lösbar ist, vermute ich, wird es auch zusammen mit dem Messwerten keine analytische Funktion y(x) ergeben.

Beim Fitten einer (analytischen) Funktion f( x ; p ) an einen Satz vom Messwerten werden die Parameter p der Funktion berechnet.

Hat die Differentialgleichung Parameter y(x) = g( x, y, y' ; p ) dann können diese Parameter bestimmt werden. Das Stichwort dazu ist "Parameter estimation in differential equations", siehe z. B. [1].

Ein anderer Ansatz könnte in Richtung Filtern gehen. Der Kalman-Filter [2,3] benutzt intern eine lineares Modell des Systems. Aus der Differentialgleichung könnte eine lineare Differenzengleichung bestimmt werden, mit der dieser Filter dann arbeitet. Dieser Ansatz wird sehr knapp umrissen in [4].

Messpunkte fitten mit einer Differentialgleichung?

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