wie berechne ich: lim für x-->2 von f(x)=(3x^2-5x-2)/(5x^2-20)?

L'hopitalscher Regel kann angewendet werden, muss aber nicht, da es auch durch Termumformung geht.

(3x^2-5x-2)/(5x^2-20)

= ((x-2)*(3x+1))/(5*(x-2)*(x+2))

= (3x+1)/(5*(x+2))

limes(->2) (3x+1)/(5*(x+2))

= (3*2+1)/(5*(2+2))

= 7/20

Nach L'hopitalscher Regel bei Quoutienten =0/0 Zähler und Nenner gegen x differenzieren und x->2 gehen lassen:

Also lim x->2 (3*2*x-5)/(5*2*x)=(12-5)/(10*2)=7/20

Du musst Zähler und Nenner faktorisieren, das geht nach dem Zerlegungssatz über die Nullstellen:

x1 und x2 Nullstellen von ax² + bx + c = 0, dann ist

ax² + bx + c = a * (x - x1) * (x - x2)

Im konkreten Fall gilt also:

Zähler:

3x² - 5x - 2 = 0 --> x1 = 2, x2 = -1/3

Also ist der Zähler = 3 * (x - 2) * (x + 1/3) = (x-2) * (3x + 1)

Nenner:

5x² - 20 = 5 * (x² - 4) = 5 * (x - 2) * (x + 2)

(3. binomische Formel)

Also ist f(x) = [ (x-2) * (3x + 1) ] / [ 5 * (x - 2) * (x + 2) ]

Hier lässt sich der Faktor (x - 2) kürzen:

f(x) = (3x + 1) / (5x + 10)

Nun kann zur Grenzwertberechnung einfach der Wert x = 2 eingesetzt werden, es ergibt sich also

lim f(x) = (3*2 + 1) / (5*2 + 10) = 7 / 20 = 0,35

x --> 2

Viel Vergnügen weiterhin

0,35

nein tut mir leid