Eine kleine Matrjoschka-Knobelei?

"Eine Kugel vom Radius r wird von einem regelmäßigen dreiseitigen Prisma umschrieben"

da sind unendlich viele solche Prismen

hast du nicht was vergessen?

nachtrag:

die höhe des Prisma ist 2r

dann gilt

r² + (2r)² = R²

5r² =R²

daher die oberfläche 1:5

und ich erwähne ungern aber prisma hat 5 flächen und nicht 6 !!

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@Ludi

in ein gleichseitiges dreieck ,

die seitenhalbierende bzw. höhen, bzw. winkelhalbierende

schneiden sich in verhältniss 2:1

und die grundseite von Prisma ist solch ein dreieck

Ich gehe von Innen nach Außen. Eine Kugel, die in ein regelmäßiges Prisma einbeschrieben ist, hat singuläre Kontaktpunkte mit allen Flächen. Dies kann nur der Fall sein, wenn die Höhe des Prismas 2ri, wobei ri der Abstand des Schwerpunktes von der Seite ist.

Somit ist der Radius ri des Inkreises definiert wie folgt:

ri = 1/6*a*√3

Der Umkreis muss zwangsläufig seine Berührungspunkte mit den 6 Eckpunkten des Prismas haben. Nun gilt es den Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke zu ermitteln. Dieser Abstand ist der Radius des Umkreises:

ru = √(2ri²)

ru = ri√2

ru = 1/6*a*√3√2

Da die Oberflächen proportional sind, reicht es aus, die Radien ins Verhältnis zu setzen.

ru/ri = √2

Wenn ich da nicht mal nen Hund vergraben habe, sollte es stimmen.

Hm, wie genau ist denn die Kugel innen engeschrieben? Weil sie muss dann ja alle 6 (sorry, sind doch nur 5, thx an "rauchers" für den Tipp;) Seiten berühren..? Naja... ich probier mich mal xD

1:2 ?

Wie komme ich drauf: wenn ich das zeichne, dann hab ich da ein gleichseitiges Dreieck mit Höhe h, einen Innkreis (Radius r) und einen Umkreis (Radius R);

r= (1/3) h und R=(2/3) h

Oberfläche einer Kugel: O = 4π mal Radius

o zu O: [1/3 4h π] / [2/3 4hπ]

es kürzt sich also 4hπ

und 1/3 : 2/3 = 1:2 bleibt übrig (hm... war irgendwie zu einfach..s das kann nicht richtig sein!?)

Grüße, Ludwig

Hoffe, dass wenigstens bissl was richtig ist... hatte seit 5 Wochen keine Schule mehr ... F E R I E N =)))))

//@regnau: ER? hätte jetzt auf sie getippt^^

//@Wurzelgnom: Nö, hier in Bayern sind noch bis 16. Ferien :P ^^

Ok., ich versuch's nochmal:

Der Radius (R) der größeren Kugel (K) ist:

R ² = r ² + h ² => R = √(r+h)

Wobei: h ist die Höhe des gleis. Dreiecks (Prismagrundfläche)

r ist der Radius der kleinen Kugel (im Prisma)

Das Verhältnis der Oberflächen ist gleich dem der Radien (wie oben gesagt, kürzt sich das 4π raus).

=> Oberfläche große Kugel (O) zu Oberfläche kleine Kugel (o):

R : r => √(r+h) : r

h=√(R-r) ... äh, ok, bringts nichts^^ weiter:

Achne, das mit dem r=1/3 h bringt nichts... (höhe des Dreiecks).

Hm, Höhe (H) des Prismas wäre 2r...

Höhe (h) der Grundfläche (Dreieck) ist 3r...

R = √(r + 3r) = 2r !??! Das bringt mich wieder zu 1:2 !?

@rauchers: Wie kommst du drauf, dass r² +4r² = R² ?

Ja, das mit dem 2:1 haben wir auch mal gelernt (hatte ich nur wieder vergessen^^).

Ich denke dennoch, dass das mit dem 1:5 nicht stimmt...

4r² + 3r² = R² => 7r² = R² (ist schwer zu erklären, wie ich draufkomm, evtl. hab ich jetzt auch einen Denkfehler drin... hab mir das hier auf einen Zettel ausgerechnet).

=> Verhältnis 1:7 !?!?!

Das Prisma hat in etwa die gleiche Oberfläche wie die äussere der beiden Kugeln würde ich sagen. Die innere Kugel ist zu klein, wäre darin ein weiteres Prisma enthalten, so wäre die Oberfläche der kleineren Kugel ebenso gross, wie die Oberfläche des darin enthaltenen Prismas.

@ Lauretta: Er macht keine Hausaufgaben mehr.

:O) Sie macht keine Hausaufgaben mehr....

mach doch deine hausaufgaben alleine