Katheten berechnen nur mit Fläche und Hypothenuse bei Rechtwinkligem Dreieck?

Question

Es ist nur eine Fläche von 34,56cm² und eine Hypotenuse von 12 cm gegeben.
Die Kinder rechnen noch nicht mit sin oder ähnlichen. Lässt sich diese Aufgabe als Quadratische Gleichung lösen?

KN · Accepted Answer

Zuerst einfach mal die Höhe h berechnen: 

A=1/2 c h 

also 

h=2 A/c=5,76 cm

Jetzt an den Satz von Thales denken: Jedes über den Durchmesser einen Kreises einbeschrieben Dreieck ist rechteckig. Ich nenne die Strecke vom Mittelpunkt der Hypothenuse bis zum Aufpunkt der Höhe x. Für der Dreieck mit den Seitenlangen x, h, c/2 =Radius der Kreises wende ich den Pytagoras an, also

x²+h²=(c/2)²

und erhalte 

x=1/2 Sqrt[c²-4 h²]

also
x=1,68

Die Hypothnusenabschnitte (Strecken von den Rändern der Hypothnuse bis zum Aufpunkt der Höhe) sind dann

p=12/2-1.68=4,32
q=12-4.32=7.86

Nach dem Kathedensatz gilt 
a²=c p und 
b²=c q also

a= 7,2 und
b=9,6

Zur Kontrolle

a²+b²=c²?

 51,64+92,16=144

STIMMT!

Und keine quadratische Gleichung wird benötigt, nur Wurzelziehen.
 Zur Frage zu Keules Lösung.

Einfach Klammern ausmultiplieren und dann die ganze Gleichung mit b² multiplizieren. Dann erhält man eine biquadratische Gleichung. Man substituiert dann für b²=x und löst die dann quadratische Gleichung nach x. B ist dann Sqrt(x);

Wurzelgnom · Answer

Die FlÃ¤che eines rechtwinkligen Dreiecks ist
A = ab/2
Also ist 34,56 = ab/2  (FlÃ¤che in cmÂ², LÃ¤ngen in cm)
und damit
ab = 69,12
2 ab = 138,24

Nach dem Lehrsatz des Pythagoras gilt:
aÂ² + bÂ² = cÂ²
Hier also
aÂ² + bÂ² = 144

Jetzt stelle ich zusammen:
aÂ² + 2ab + bÂ² = 144 + 138,24
also
(a+b)Â² = 282,24
a+b = Wurzel(282,24) = 16,8

Nun habe ich
a + b = 16,8
ab = 69,12
=>
b = 69,12/a
=>
a + 69,12/a = 16,8 |*a
aÂ² + 69,12 = 16,8 a
=>
aÂ² - 16,8a + 69,12 = 0

a 1/2= 8,4 +/- Wurzel(8,4Â² - 69,12)
a 1/2 = 8,4 +/-1,2

Eine Kathete ist 9,6 cm, die andere 7,2 cm lang.

keule_xxx · Answer

Hallo,
ist doch 1. a^2 +b^2 = c^2 und 2. 1/2*a*b=A
A und c sind bekannt,
2. nach a umstellen, a=2*A/b
in 1. einsetzen, (2*A/b)^2 + b^2 = c^2

mfg

Paiwan · Answer

Die FlÃ¤che eines rectwinkligen Dreiecks brerechnet sich aus:

A = 0.5a*b

Die Hypotenuse aus:

cÂ² = aÂ² + bÂ²

Damit hast du 2 Bestimmungsgleichungen. Nimm die 1. Gleichung und stelle sie nach a oder b um:

a = 2A/b

und setze sie in die 2. Glecihung ein:


cÂ² = (2A/b)Â² + bÂ²

cÂ² = 4AÂ²/bÂ² + bÂ²  | *bÂ²

cÂ²bÂ² = 4AÂ² + b^4

Dies ist eine biquadratische Gleichung die du durch Substitution ind eine quadratische umformst und lÃ¶st. Das Ergebnis dÃ¼rften 2 positive und 2 negative LÃ¶sungen sein, wovon die negativen uninteressant sind. Die beiden positive LÃ¶sungen besagen, dass a und b in den Werten einemal vertauscht werden kÃ¶nnen. Der Weg ist somit logisch einwandfrei.

Ich denke mal, das ist, was du wissen wolltest. DIe anderen LÃ¶sungen sind allerdings auch korrekt

linkes Kamel · Answer

Ich bin noch am tÃ¼fteln aber der Ansatz mÃ¼sste das sein:

A = 1/2 a*b   

(rechtwinkliges Dreieck ist ja ein halbes Rechteck)

aÂ²+bÂ² = cÂ²


Zwei Gleichungen mit zwei Variablen, also eigentlich eindeutig lÃ¶sbar. 

I.  1/2 ab - 34,56 = 0
II.  aÂ² + bÂ² - 144 = 0

Da aber in I.  a*b steht kann ich die LÃ¶sung damit irgendwie nicht rauskriegen :(

@muffix 
Du meinst ^1/2 und nicht ^-2  :)

@muffix #2
Nein, ich verwechsel das keineswegs. Die Formel steht sogar in meiner Formelsammlung.
Verdoppel doch mal im Gedanken ein rechtwinkliges Dreieck. Wenn du es richtig zusammenlegst hast du ein Rechteck. Der FlÃ¤cheninhalt eines Rechteckes ist  A = ab und wir brauchen ein "halbes Rechteck", also ein rechtwinkliges Dreieck, demnach A = 1/2 ab.

Thomas K · Answer

Wenn es ein gleichschenkliges Dreieck ist geht das auch ohne Winkelfunktionen.

Anonym · Answer

Du hast rech @kamel 
es ist aber nicht quadratisch zu lÃ¶sen

Katheten berechnen nur mit Fläche und Hypothenuse bei Rechtwinkligem Dreieck?

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