Bis zu welcher Größe darf der Fußball maximal aufgepumpt werden, wenn er nicht stecken bleiben soll?

Eine Situation aus der alltäglichen Erfahrung: Ein Ball rollt über einen Gullydeckel. Der Ball bleibt nicht in den Schlitzen stecken, rollt darüber weg, weil sein Durchmesser viel größer ist als die Breite der Schlitze. Also würde ein sehr großer Ball auch über den Graben rollen.

Daher betrachte ich nur kleinere Bälle, die in den Graben rollen können.

Betrachte ich den Weg eines sehr kleinen Balls. Der Ball rollt auf einem Parabelast hinunter. Hier könnte es Schwierigkeiten mit dem Rollen geben, weil die Parabel zu steil ist. Extremfall: An einer senkrechten Mauer fällt der Ball herunter, dreht sich vielleicht ein wenig, aber rollt nicht. Ich vermute es gibt einen Grenzwinkel, bei dem die Kraft auf die Wand – eine Komponente der Gewichtskraft –so klein ist, dass die Reibungskräfte – proportional zu der Andruckkraft – nicht mehr ausreichen den Ball sicher in Rotation zu versetzen. Das wird die Aufteilung der Energie auf Kinetische und Rotationsenergie verändern, aber es kommt zu keinem Klemmen. Also vernachlässige ich diesen Effekt.

Der Ball rollt also auf der Parabel hinab. Im Scheitelpunkt erreicht der Ball maximale kinetische Energie und Rotationsenergie. Der Ball rollt weiter, auswärts auf dem rechten Parabelast. Nun wird die Energie wieder in potenzielle Energie umgesetzt. Der Ball wird langsamer, bis der Ball auf der Parabel seine Starthöhe erreicht.

Die Parabel wird im Bereich des Scheitelpunkts immer enger. Ein kleiner Ball würde über den Scheitelpunkt der Parabel rollen, aber ein großer Ball könnte den Scheitelpunkt nicht erreichen. Es gibt einen maximalen Radius für den Ball, damit er die eben beschriebene Bahn durchlaufen kann.

Anschaulich ist, für den Ball ist der Bereich in der Nähe des Scheitelpunkts kritisch. Erreicht der Ball den Scheitelpunkt, dann rollt der Ball auf der ganzen Parabel ab.

Ein Ball mit Radius R, der im Scheitelpunkt (x,y) = (0,0) liegt, hat den Mittelpunkt bei (x,y) = (0,R). x=0 ergibt sich aus der Symmetrie, y=R aus dem Abstand Ballmittelpunkt zu Ballwand. Ist der Ball zu groß, passt nicht in den Scheitel, dann muss es Schnittpunkt der Kreislinie und der Parabel geben.

Das Gleichungssystem

|| (x,y) – (0,R) || = R und y=x²/20

(x-0)² + (y-R)² = R² und y=x²/20

ist zu untersuchen.

x² + y² - 2Ry + R² = R²

20y + y² - 2Ry = 0

y² - y* ( 20 - 2Ry ) = 0

y - ( 20 - 2R ) = 0 oder y = 0

y = 20 - 2R oder y = 0

Die Lösung y=0 ergibt sich aus der gewählten Position des Balls.

Die zweite Lösung y = 20 - 2R ergibt zwei Schnittpunkte (20*Wurzel(y),y) und (-20*Wurzel(y),y) wenn y > 0 ist. Ist y = 0 ergibt sich wieder Scheitelpunkt (0,0). Ist y < 0 ergibt sich keine reelle Lösung für weitere Schnittpunkte.

Also ist 20 - 2R < 0 die Bedingung dafür, dass der Ball durch den Scheitelpunkt der Parabel rollt. Also R < 10. Bälle mit maximal 10 cm Radius können durch den Scheitelpunkt rollen.

Es gibt auch eine andere Rechnung, die auf diesen Ballradius führt:

Der Ball mit Radius R kann nicht auf der Kurve abrollen, wenn der Krümmungsradius der Kurve an einem Punkt kleiner R ist. In so einem Punkt könnte sich der Ball nicht an die Kurve anschmiegen.

(Da dieses nur eine lokale Bedingung an die Kurve ist, folgt nicht: Bei einem minimalen Krümmungsradius >= R kann der Ball entlang Rollen. Im allgemeinen Fall könnte die Bahn wie eine Sanduhr geformt sein, die Engstelle entsteht dann nicht die lokale Eigenschaft der Kurve, sondern erst durch das Zusammenspiel zweier weit entfernter Kurventeile.)

Der Krümmungsradius r einer ebene Kurve y=y(x) ergibt sich aus [1]

K(x) = y’’(x) / ( 1+(y’(x))² )^(3/2)

r(x) = 1/K(x)

Für die Parabel y = x²/20 ist

y’ = 2x/20 = x/10

y’’ = 1/10

K = ( 1/10 )/( 1+x²/100 )^(3/2)

r = 10 * ( 1+x²/100 )^(3/2)

Der Krümmungsradius hat sein Minimum bei x = 0 mit R = 10.

Also ein Ball mit maximal 10 cm Radius kann sich an jeder Stelle der Parabel anschmiegen.

Bleicht ein Ball mit mehr als 10 cm Radius stecken?

Der Ball rollt auf dem linken Parabelast herab. Der Ball wird vor dem Erreichen des Scheitelpunkts den rechten Parabelast berühren. Jetzt ist die Situation ähnlich, wie das Beispiel am Anfang. Ein Ball muss nicht in jeder Situation stecken bleiben, wo der rechts und links aufliegt. Rollt ein Ball auf einem geraden Brett hinunter, trifft dann auf ein angelehntes Brett, das aufwärts führt, rollt der Ball aufwärts ohne jemals die schmale Ecke zwischen den beiden Brettern berührt zu haben.

Eine ähnliche Situation: Ein Ball rollt auf dem Boden, trifft auf eine Türschwelle, die senkrecht aus dem Boden ragt, dann kann der Ball über die Schwelle rollen. Auch dort gibt es die Situation, dass der Ball Boden und Schwelle berührt. Damit der Ball über die Schwelle rollt, muss seine kinetische Energie groß genug sein. Bei einer höheren Schwelle muss der Ball schneller sein, damit er rüber kommt. Doch es gibt eine Grenze: Ist die Schwelle hoch, denn prallt der Ball zurück, egal wie schnell der Ball ist. An einer Skizze wird klar, die kritische Höhe der Schwelle wird der Radius des Balls sein. Ist die Schwelle höher als der Radius des Balls, dann springt der Ball noch ein Stück senkrecht nach oben, schafft es aber nicht mehr über die Schwelle.

(Der Ball ist elastisch. Daher drückt der Ball gegen die Schwelle bis seine kinetische Energie in die Verformung umgesetzt ist. In dieser Zeit ergibt sich aus der Rotation des Balls und der Reibung an der Wand eine Kraft, die den Ball anhebt.)

Die Überlegung gilt für eine senkrechte Schwelle. Eine Schräge berührt nie den Ball auf der Höhe R. Der rechte Parabelast ist nie senkrecht, daher haben auch Bälle mit einem Radius größer als 10 cm die Chance, auf der rechten Seite nach oben zu rollen. Der Ball hat eine Geschwindigkeit in –y Richtung. Das Vorzeichen dieser Komponente muss sich ändern. Das geschieht durch die Reibungskräfte, auch durch die Verformung des Balls.

Ohne Reibungsverluste geht die Energie des Balls nicht verloren. Die Energie kann den Ball zurücktreiben oder auf der anderen Seite hochtreiben. Reibungsverluste würden vermutlich beim Festklemmen den größten teil der Energie aufnehmen. Der Druck im Ball wird sich auch erhöhen und so Energie aufnehmen. Doch der Druck kann den Ball wieder in Bewegung setzen, wenn er nicht fest genug durch die Reibungskräfte an den Wänden gehalten wird. Die Details des Festklemmens sind im ersten Angang unübersichtlich.

Also ein Ball mit Radius unter 10 cm wird „einfach“ Rollen und die andere Seite erreichen. Bei größeren Bällen gibt es eine kritische Stelle, an der das Verhalten durch Masse, Reibung, Elastizität des Balls bestimmt wird und entsprechend schwierig zu behandeln ist.

1.) Wie soll der den darin steckenbleiben?

Hab ich das richtig verstanden?:

A |...........................| B__

.....\__................__/. ...|

..........\__......__/.... ..3m

................\__/..... ......_|_

Dann wäre die maximale Größe die gesamte Breite des Grabens. Und die beträg nach der Parabel ca. 77,5 cm.

( y = x^2 / 20

300 = x^2 / 20

6000 = x^2

x = wurzel(6000) =~ 77,5 )

bist du echt der meinung die frage wird dir richtig beantwortet ?