Sinus und Kosinus?

Das ist wirklich nicht so einfach!

Man kann den Sinus und Cosinus eines Winkels als Verhältnis von Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks definieren.

Das geht aber nur bis zu Winkeln von 90 Grad gut, danach gibt es kein rechtwinkliges Dreieck mehr!

Daher behilft man sich mit dem Kreis, der ja von 0 bis 360 Grad geht! (Siehe Deine Programmier - Frage!)

Früher hatte man tatsächlich Tabellen, wo man so etwas nachschlagen konnte.

Intern macht der Taschenrechner folgendes:

cos( x) = 1 - (x^2) / 2 + (x^4)/24 - (x^6 )/720 + (x^8)/40320 ---

sin( x) = x - (x^3)/6 + x^5 / 120 - usw

Dabei muß x aber im Bogenmaß, d.h. von 0 bis 2 * Pi

angegeben werden

2 Pi entsprechen 360 Grad -- > Dreisatzrechnung für jeden

anderen Winkel!

@Flaty

Es geht mir nicht um die 10 Punkte

Ich denke, Dein Problem liegt in der Umrechnung von Grad auf Bogenmaß!

Der Winkel alpha (Bogenmaß) ist gleich pi/180 * alpha ( Gradmaß)

Für die Programmierung brauchst Du das Bogenmaß! Sonst

stimmen die Werte nicht!

in "tabellen und formeln" wird dies sehr genau erklärt. ich bin glaub ich auch schon zu alt dafür :-((((

gibt auch ne internet seite von tabellen und formeln

hier bei wikipedia auch

Kleine Anmerkung zum Programmieren.

Eingabe: alpha = der Winkel

iter = Anzahl der Iterationen

double sin(double alpha, int iter){

double x =0;

rad = alpha/360*2*PI;

for (int i =0;i<iter ;i++){

x += pow(-1, i)*pow(x, 2*i+1)/fac(2*i+1);

}

}

Mit pow(x, a) = x hoch a und fac(n) = Fakultät n

Das sollte selbst für kleine iter (5 bis 6) gute Ergebnisse bringen.

Optimieren kann man mit Fallunterscheidungen, etc.

Also, ausrechnen ist problematisch, weil es sich bei den meisten Sinus- bzw. Kosinuswerten um irrationale Zahlen handelt (wenn wir mal von den hier schon oft genannten Werten 0,5; 1 bzw. -1 absieht)

Berechnen kann man sie damit nur als Grenzwert einer konvergenten Reihe.

Aber Du kannst sie zeichnerisch ermittlen:

Zeichne einen "Einheitskreis" um den Koordinatenursprung! Also auf Millimeterpapier einen Kreis mit dem Radius 1 (vielleicht in dm, also 10 cm)

Trage nun Deinen Winkel ein (im 1. Quadranten bis 90°, im zweiten von 90° bis 180°, im dritten von 180° bis 270°, im vierten von 270° bis 360°)

Das ergibt einen Schnittpunkt P(x,y) mit der Kreislinie.

Hier ist x der Kosinus, y der Sinus des Winkels.

Um den Tangens abzulesen, müsstest Du in (1;0) an den Kreis noch eine Tangente legen, also die Gerade x = 1 einzeichen, und die Linie über den Kreis hinaus verlängern.

Die Ordinate y des Schnittpunkts S(1;y) mit der Tangente liefert Dir jetzt den Wert für den Tangens.

Die Antwort von Darth ist richtig!

"cos( x) = 1 - (x^2) / 2 + (x^4)/24 - (x^6 )/720 + (x^8)/40320 ---

sin( x) = x - (x^3)/6 + x^5 / 120 - usw"

Dabei muss allerdings noch gesagt werden, dass es sich hier um eine Entwicklung handelt und so lange weitergeht, wie man Stellen nach dem Komma braucht.

An allen Antworten ist "schon was Liebes dran".

Was Dir aber fehlt, ist wahrscheinlich - für die Praxis - nicht unbedingt, wie man mal auf SIN oder COS gekommen ist, sondern was "das" überhaupt ist und welche Eigenschaften "das" hat.

Begriff: Funktion

...ist eine eindeutige Zuordnung...

Das heißt, dass zu x-Werten (bei Winkelfunktionen auch mal Alpha-Werten) bestimmte y-Werte gehören, also zugeordnet werden.

Dann "erfand" man am (Einheits-)Kreis die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion, indem man einen Punkt gleichmäßig (also mit konstanter Geschwindigkeit) auf dem Kreis 'rumkurven ließ. Dabei ergaben sich bestimmte Zuordnungen, also geordnete Paare, die man als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen hat.

Und nun kommt das, was man sich schon relativ gut einprägen sollte - dazu nimmt man sich ein Tafelwerk/eine Formelsammlung:

Verlauf von Sinus- bzw. Kosinus-Funktion.

Die "Wellenlinie" hat man ja schon gesehen...

Man merkt sich für den Sinus als "charakteristischen" Punkt z. B. (0|0) und für den Kosinus etwa (0|1).

Für y=sin x und y=cos x weiß man, dass die "kleinste Periode" 2 pi (=360°) ist.

Ach, ja, es gibt noch "Gradmaß" und "Bogenmaß".

Winkel für Gradmaß werden meist mit Alpha (oder so) bezeichnet, Winkel im Bogenmaß im Allgemeinen mit x.

Über den Einheitskreis kann man (mittelsVerhältnisgleichung) entsprechende Zuordnungen finden, die es aber auch in Tafeln gibt:

360° = 2 pi (Das Gleichheitszeichen müsste ein "entspricht" sein.) Trägt man 2 pi (rund 6,28 LE) auf der x-Achse ab, sind dort die 360°.

Tipp: Nimm GENAU 6cm für 2 pi, dann sind z. B. die 30°, also pi/6, gerade bei einem °Kästchen".

Schließlich musste ich 1967/68 die so genannten Hauptwerte der Winkelfunktionen (auch vom Tangens und Kotangens) bei unserem sehr zynischen und uns hoch fordernden Ma-Pauker C. Haase (Knorkelohr) auswendig lernen. Ich kenne sie noch heute - und es hat weder weh getan noch geschadet, ganz im Gegenteil, oft brauchte ich nicht einmal den Rechner zu benutzen!

Realistisch betrachtet wären aber nur die Sinus- und Kosinus-Werte für

0°, 30°, 45°, 60° und 90° notwendig.

Hat man das mal "vor sich hin gezeichnet", sieht man einige Besonderheiten, die sich wiederholen bzw. gewisse "symmetrische" Werte und kann aus den Bildern in Tafelwerken das Meiste schon ablesen, auch etwa die "Quadrantenbeziehungen".

Noch etwas:

Bei der Einstellung des TR auf RAD gibt man die Winkel im Bogenmaß ein, also z. B. pi - und der zugehörige Funktionswert des Sinus (=0) wird beim Drücken auf die sin-Taste ausgeworfen.

Stellt man den TR auf DEG, dann tippt man den Winkel in Gradmaß 'rein, etwa 45° - und man erhält (sowohl beim Sinus als auch beim Kosinus) 0,5*SQRT(2) ("Wurzel aus 2") ganz exakt, der Rechner gibt aber nur einen gerundeten Wert wie 0,707... aus.

"Umkehrung" - mit INV-Taste oder 2nd-Taste oder ...:

Will man wissen, bei welchem Weinkel (also an welcher Stelle auf der waagerechten Achse) der Funktionswert des Kosinus 0,5 ist, gibt man 0,5 ein und erhält entweder (bei DEG) 60° oder (bei RAD) pi/3, was wohl etwa 1,05 sein müsste.

also, rechne am besten nicht in grad sondern in pi -

damit wäre ein voller winkel (360° = 2x pi) und ein halber winkel (180°= pi) und ein rechter winkel (90° = 0,5x pi)

cos(pi) = -1

cos(0) = +1

cos (0,5xpi) = 0

dann schau dir den einheitskreis an. da kannst du die winkel einzeichnen, und dann ein rechtwinkliges dreieck aufbauen, dessen eine kathete der cos ist, die andere kathete der sinus,

wie man jetzt nochmal da auf den tangens und den cotangens kommt, hab ich nicht direkt im kopf.

fragen?--> einfach schreiben

Im rechtwinkligen Dreieck kannst du mit 2 Formeln den (Ko)Sinus eines Winkels berechnen(siehe Quelle).

Also, weißt du, was ein Trigonometrischer Kreis ist? Wenn nein, guck mal bei Wikipedia nach. Wenn ja, dann ist es verhältnismäßig einfach. Den Sinus kannst du auf der y-Achse ablesen, den Kosinus auf der x-Achse. (Du ziehst jeweils eine Parallele zur y- bzw. x-Achse und liest den Wer einfach ab. Mit nem Bild ginge das einfacher, aber guck einfach mal meine Quelle nach.)

Da diese Art der Bestimmung aber nicht genau ist, gibt es eine Tabelle mit verschiedenen Werten. In dieser stehen die Winkel 0,30,45,60,90° drin. dort sind dann Werte genannt.

Geh am besten in die Quelle, ist dort vielleicht n bisschen besser erklärt.

schau mal hier, hier wirds vorgerechnet: http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus

frag mal Hubertus der kennt die beiden