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Mathe und so?
Hallo, ich hab mal wieder ein Matheproblem. Also die Aufgabenstellung sieht folgendermaßen aus.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades berührt die x-Achse im Punkt P1(2;0) und hat im Ursprung einen Wendepunkt. Die Wendetangente bildet mit der positiven Richtung der x-Achse einen Winkel von 45°. Es sind zu bestimmen:
a) die Funktionsgleichung der Funktion
b) die Funktionsgleichung der Tangente des Punktes (2;0)
So und ich hab mir schon folgendes überlegt.
Da der Wendepunkt im Ursprung liegt, heißt das ja das wir den Wert 0;0 haben, also fällt a0 schon mal weg. Und dann hab ich mich gefragt, ob ein Wendepunkt auf der y-Achse bedeutet das die Funktion achsensymetrisch ist.
Naja und diese Tangente hab ich mal kurz gezeichnet und gesehen das es eine Steigung von x ist, kann das sein? f(x)=x?
Naja für anregungen wäre ich dankbar :) bis dann.
Also wenn ich einen Wendepunkt habe, kann ich sicher sagen das f''(x)= 0 ist, dann hab ich ja auch eine Tangente von der ich die Steigung ablesen kann. Also is f'(x)= der Steigung der Tangente. Aber ich glaub das bringt mir nichts, weil, wenn es stimmt das ich sagen kann das die Funktion achsensymetrisch ist, hab ich ja nur
a2x² + a4x^4 = f(x)
2a2x + 4a4x³ = f'(x)
2a2 + 12a4x² = f''(x)
und wenn ich jetzt die 0 werte da einsetze ist ja alles 0 und ich komm auf keine Lösung^^
Das hört sich ja ganz schön an, aber könnt ihr mir sagen warum ihr P1 zwei mal verwendet?
4 Antworten
- BosonLv 4vor 1 JahrzehntBeste Antwort
Eigentlich ist das gar nicht so schwer:
Ganzrationale Funktion 4.Ordnung:
f[x]= a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x^1 + e
Dann hast du die folgenden Bedingungen:
f[0] = 0 (Wendepunkt liegt auf der Kurve)
f[2] = 0 (P1 ist Teil der Kurve)
f'[2] = 0 (f berührt die x-Achse)
f''[0] = 0 (f hat einen Wendepunkt im Ursprung)
f'[0] = Tan[45 °] (Steigung der Wendetangente)
Einfach die Bedingungen einsetzen und die Lösung berechnen:
a = 1/4, b = -3/4, e = 0, c = 0, d = 1.
Damit ergibt sich also:
f[x] = 1/4 (-2 + x)^2 (1 + x) x = x - (3 x^3)/4 + (x^4)/4.
Die Gleichung der Wendetangente ist Simpel:
Die Steigung ist bekannt, nämlich Tan[45 °]=1. Außerdem läuft sie durch den Ursprung, also:
g[x] = x.
Grüße Boson
PS:
@Günter S:
Du hast Dich bei a4 verrechnet.
Nachtrag:
> Das hört sich ja ganz schön an,
> aber könnt ihr mir sagen warum ihr
> P1 zwei mal verwendet?
Weil in der Aufgabe steht, dass die Funktion die x-Achse im Punkt P1 BERÜHRT. Berühren ist nämlich etwas anderes als schneiden. Hier bedeutet berühren, dass sich die Funktion der x-Achse immer weiter annährt und während der Berührung die gleiche Steigung wie die x-Achse (nämlich 0) besitzt.
- Günter SLv 4vor 1 Jahrzehnt
Solche Aufgaben löst man am Besten durch stures Anwenden der Kurvendisussion ohne lange Rätsel zu raten.
Um die Koeffizienten a0 bis a4 eines Polynoms vierten Grades zu bestimmen, braucht man 5 Bedingungen; diese kannst Du der Aufgabenstellung entnehmen:
1. Das Polynom geht durch den Ursprung, daraus folgt: a0 = 0.
2. Das Polynom geht durch den Punkt (2;0), d.h. f(2) = 0.
3. Das Polynom berührt die x- Achse im Punkt (2:0), d.h. die erste Ableitung an der Stelle x=2 ist Null (y'(2) = 0)
4. Im Punkt (0;0) hat das Polynom einen Wendepunkt, d.h. die zweite Ableitung im Punkt (0;0) ist Null (y''(0) = 0).
5. Die Steigung der Wendetangente ist 1, d.h. y'(0) = 1.
Aus der Bedingung 1. folgt a0 = 0, aus 4. folgt: a2 = 0 und aus 5. folgt: a1 = 1.
(hierzu brauchst Du nur die erste und die zweite Ableitung zu bilden und die gegebenen Werte einzusetzen).
Dann bleiben mit den Bedingungen 2. und 3. noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten übrig:
0 = 2 + 8*a3 + 16*a4 (2)
und
0 = 1 + 12*a3 + 32*a4 (3)
Durch das Subtraktionsverfahren erhält man
a3 = 3/4 und a4 = 4
Damit hast Du die Gleichung des Polynoms
y = x - (3/4)x³ + 4*x^4
Die Tangente im Punkt (2;0) hat die Steigung Null und die Gleichung
y = 0
(Siehe Bedingung 3.)
- Nicky2011Lv 4vor 1 Jahrzehnt
Ich hab da einen Tipp für dich:
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Hier der Link zur Seite:
- Anonymvor 1 Jahrzehnt
Also meine Mathestunden sind schon was her, aber mal gucken ob ich dir helfen kann.
Also, 4. Grades heiÃt doch:
f(x)=ax(hoch 4)+bx³+cx²+dx+e
Die restlichen Ãberlegungen scheinen mir vom Prinzip her schlüssig, aber ich würde das ganze ausrechnen? Wie war das nochmal mit den ausreichenden und hinreichenden Bedingungen? Und das ganze dann gleichsetzen!
Werte für die Ergebnisse hast du ja, du weiÃt ja das die Funktion f(0) = 0 ist und f(2)=0
So, da verlassen mich aber jetzt auch meine Kenntnisse, hoffe dir geholfen zu haben.
