Quadratische Funktionen?!?

Ist doch gar nicht so schwer, wenn mans weiß.

(-1-d)²=(9-d)² (1 und 9 für x einsetzen)

<=>(-1-d) *(-1-d) = (9-d)*(9-d) (das bedeutet das quatrat)

1+2d+d² = 81 -18d +d² (ausmultiplizieren)

1+2d = 81 - 18d (das d² auf der linken Seite mit "-" rüber-> d² löst sich auf (verschwindet))

1= 81 - 20d (-18d-2d rechnen)

-80=-20d (81 mit "-" rüber rechnen )

<=> 80= 20d (nun rechne 80/20)

d=4

hoffe konnte dir helfen, viel glück

Ich glaube nicht, dass der Mathematiklehrer ausgerechnet eine "umständliche" Lösung haben will. Im Allgemeinen sind elegante Lösung viel erbauender.

Es gibt ja ganz viele Strukturen von Gleichungen quadratischer Funktionen. Es kommt meines Erachtens hier besonders auf das VERSTÄNDNIS an, was dieses d mit dem Graphen der (Normal-)Parabel macht. Denn dies ist eine Normalparabel, weil der Funktionsterm (wenn man das Binom löst) mit x² anfängt.

Erste Voraussetzung:

Man sollte den Graphen der Normalparabel y = x² sofort, mit wenigen Punkten skizzieren können. Dazu gehört, dass man ein paar Quadrate (also x²) im Kopf hat:

x . . . -2 . . -1 . .-0,5 . . 0 . . 0,5 . . 1 . . 2 .

y . . . 4 . . . 1 . .0,25 . . 0 . .0,25 . 1 . . 4

Dabei trägt man nämlich nur (etwa) diese Punkte ein und zeichnet die Kurve, indem man die Symmetrie (zur y-Achse) beachtet.

Zweite (Er-)Kenntnis:

Wenn y = x² den Scheitel ( 0 | 0 ) hat,

dann hat y = ( x - d )² den Scheitel bei ( d | 0 ),

das heißt also, dass der Scheitel um -d seitlich verschoben ist.

Beispiele:

y = (x-3)² . . . S( 3 | 0 )

y = (x + 1,5)² . . .S( -1,5 | 0 )

Dritte Überlegung:

Da der Graph also nur seitlich verschoben ist, gibt es - wie bei der Normalparabel - (fast) immer zwei Punkte . n e b e n- einander, auf gleicher Höhe.

Der Graph hat immer noch eine senkrecht verlaufende Symmetrieachse, das ist aber nicht mehr die y-Achse, sondern sie liegt genau in der Mitte zwischen zwei "gleich hohen" Funktionswerten bzw. Punkten.

Vierte Überlegung:

Wenn f(-1) = f(9) ist,

dann ist wohl auch f(-0,8) = f(8,8)

sowie f(0) = f(8)

und f(1) = f(7)

usw.

Das geht aber auch einfacher, indem man einfach auf der x-Achse die Mitte zwischen -1 und 9 ermittelt.

Die Sache mit dem kleinsten Wert, also dem Minimum, hat sich schon erledigt durch die Kenntnis über die (nur) seitliche Verschiebung des Scheitels.

Das sieht jetzt zwar aus wie "viel Lärm um nichts", aber es ist wirklich nicht schwer.

Hier erstmal umständlich(schätze das will der Mathe-Lehrer)

F(-1)=F(9)

(-1-d)²=(9-d)² <=>(-1-d) *(-1-d) = (9-d)*(9-d)

1+2d+d² = 81 -18d +d² / -d²

1+2d = 81 - 18d / -2d

1= 81 - 20d /-81

-80=-20d <=> 80= 20d /: 20

d=4

ALSO: (x-4)² soll klein sein, wegen quadrat wirds immer positiv, also ist das kleinste bei x=4 , dann wird f(4)=0

Du kannst dir aber auch folgendes überlegen: Eine parabel ist um ihre Scheitelstelle (senkrechte Linie auf der x- achse, da wo der scheitelpunkt sitzt) Symmetrisch, wenn also zwei Punkte den gleichen Funktionswert haben, ist in ihrer mitte der Scheitelpunkt, und der ist das Minimum bei einer nach oben geöffneten Parabel (ist hier der Fall) :

(-1 +9)/2= 8/2 = 4

Ich geb dir eine Anleitung, wie ich es machen würde:

1. Brauchst du den gesamten Funktionsterm, also musst du d bestimmen. Dazu setzt man f(1) und f (9) gleich und löst anschließend nach d auf. Jetzt hat man den gesamten Funktionsterm

2. Da ich denke, dass ich noch nicht ableiten könnt, kommt jetzt die "umständliche" Variante:

Wenn man d weiß, weiß man auch, wo der Scheitel liegt, nämlich bei (d;0) (setzt man d in die Gleichung ein, so ist der Funktionswert 0). Da bei der gegebnene Gleichung kein Vorzeichen vor der Klammer steht, ist der Scheitelpunkt auch der niedrigste Punkt des Graphen, sprich: am Scheitelpunkt nimmt die Funktion den kleinsten Wert an. (Wäre vor der Klammer ein negativer Vorfaktor wie z.B. -2; -3,5 oder ähnliches, wäre der Scheitelpunkt der Punkt mit dem höchstem Funktionswert.

Wie du siehst, musst du nur d bestimmen und erhältst daraus den Scheitel der Parabel und somit den gesuchten x-Wert.