Die Kugel!? Kann sie mir bitte jemand erklären?

Kugelfläche und Kugelkörper [Bearbeiten]Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welcher der beiden Begriffe gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (x0, y0, z0) und Radius r ist die Menge aller Punkte (x,y,z), für die

erfüllt ist.

In Vektorschreibweise mit = (x,y,z) , = (x0, y0, z0)

oder

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius r und dem Zentrum im Ursprung können wie folgt parametrisiert werden:

Siehe auch: Trigonometrische Funktionen, sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten

Zum Volumen :

Erst einmal war die Überlegung, dass eine Halbkugel (Radius r) ja ein größeres Volumen haben muss als ein Kegel mit derselben Höhe r - aber dafür ein kleineres Volumen als ein entsprechender Zylinder mit gleicher Höhe r.

Also gilt schon mal :

V(Kegel) < V(Halbkugel) < V(Zylinder)

1/3 * pi * r² * r < V(Halbkugel) < pi * r² * r

Ziehe ich vom Zylindervolumen das des Kegels ab, würde man schon mal mit dem arithmetischen Mittelwert 2/3 * pi * r³ eine gute Näherung erhalten.

Für eine nähere Betrachtung braucht man den Satz von Cavalieri. Dieser liefert uns, dass das Volumen einer Halbkugel tatsächlich dem Volumen eines Zylinders minus dem Volumen eines Kegels entspricht. Begründung :

Nimmt man Querschnitte von der Figur (Zylinder minus Kegel), so erzeugt man Kreisringe.

Diese haben (bei beliebiger Höhe x) alle denselben Flächeninhalt wie entsprechende Querschnitte der Halbkugel.

Für Kreisringe gilt die Formel (bei innerem Radius x) :

A1 = pi * r² - pi * x²

Für die Kreisfläche gilt r(Kreisquerschnitt)²= r² - x² (nach Pythagoras), also gilt :

A2 = pi * (r² - x²)

Daher gilt A1 = A2 - und die Halbkugel hat denselben Flächeninhalt wie die andere Figur (Zylinder minus Kegel), weil ihre Querschnitte an beliebiger Stelle immer dengleichen Flächeninhalt haben [Satz von Cavalieri].

Somit beträgt ihr Flächeninhalt tatsächlich 2/3 * pi * r³ (wie oben schon berechnet).

Demnach hat also eine *ganze* Kugel den doppelten Flächeninhalt, also 4/3 * pi * r³

zur Oberfläche :

Hier denkt man sich die Kugel als Vielflächner, der aus lauter kleinen Pyramiden besteht, deren Spitze alle im Mittelpunkt der Kugel liegen.

Demnach sind also alle Grundflächen der Pyramide G1, G2, G3, ... zusammen genommen eine gute Näherung für die Oberfläche.

Es gilt für das Volumen bekanntlich :

V(Pyramiden) = 1/3r * (G1+G2+.... +Gn)

Bei ausreichend kleinen Grundflächen kann man G1+G2+G3+... +Gn mit der Oberfläche gleichsetzen.

Also gilt : V = 1/3r * O

Da V ja dem Volumen einer Kugel entspricht, gilt also :

4/3 * pi * r³ = 1/3r * O

Das ganze nach O freigestellt ergibt :

O = 4 * pi * r²

* Kugel Wikipedia. http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel

Einige Erklärungen sind höhere Mathematik Integral Rechnung!

Aber sonst gut erklärt, wo sind eure Mathebücher? steht da nichts drin?

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Schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel

Das ist meiner Meinung nach "idiotensicher" erklaert!

Viel Erfolg!