Wie bestimme ich Inversen?

Beste Antwort

Vermutlich sprichst Du hier von Funktionen und den zugehörigen inversen Funktionen
(Den Begriff des "Inversen" gibt es nämlich in verschiedenen Zusammenhängen)

Ich gehe davon aus, dass Du von zwei verschiedenen Funktionen sprichst:
f1 mit y = f1(x) = (x³ - 1)^(1/3) und
f2 mit y = f2(x) = (x+1)/(x-2)

Dazu muss man noch sagen, dass nicht jede Funktion eine zu ihr inverse Funktion hat. Voraussetzung dafür ist, dass sie eineindeutig, also umkehrbar eindeutig, oder besser formuliert eindeutig umkehrbar ist.

Zu f1:
y = (x³-1)^(1/3) | ^3
y³ = x³ - 1 |+ 1
y³ + 1 = x³ | ^(1/3)
(y³ + 1) ^(1/3) = x

Nun kann man - wenn man das möchte - die Variablen umbenennen
y = f^(-1)(x) = (x³ + 1)^(1/3)

@Danke für den Hinweis!
Habe den Tippfehler korrigiert

Zu f2:
y = (x+1)/(x-2)
(Definitionsbereich beachten! )
y( x - 2) = x + 1 ( x ungleich 2)
yx - 2y = x + 1
yx - x = 2y + 1
x(y - 1) = 2y + 1 |: (y - 1) - Beachte: y ungleich 1
x = (2y + 1)/(y - 1)

Und nun - wenn gewünscht - wieder die Variablen umbennen:
y = (2x + 1)/(x - 1) (Dabei natürlich x ungleich 1)
@ Nach weiterem Hinweis die Angaben zum Definitionsbereich ergänzt - auch wenn das zur Lösung des Problems nicht zwingend notwendig gewesen wäre.
(siehe Schlussbemerkungen anhand der Grafik)

Bild der Ausgangsfunktion:
http://www.bilder-hochladen.net/files/big/9aqw-bb-f8c1.jpg

Bild der Umkehrfunktion:
http://www.bilder-hochladen.net/files/big/9aqw-ba-1543.jpg

Und hier sieht man es nun auch sehr schön:
Während die Ausgangsfunktion in x = 2 eine Polstelle hat, dort also nicht definiert ist,
ist die Umkehrfunktion nicht definiert für x = 1 und hat dort ihre Polstelle.

Während y = 1 nicht zum Wertebereich der Ausgangsfunktion gehört (vielmehr gilt für x -> +/- oo lim f(x) = 1),
gehört bei der Umkehrfunktion y = 2 nicht zum Wertebereich.
Es gilt vielmehr:
lim f(x) = 2 (für x -> +/- oo)...Mehr anzeigen