also ich brauche dringend Ansatzpunkte zum Berechnen der Hoch und Tiefpunkte !
Wie fange ich denn an , wenn ich die Gleichung hab: -3*sin(6x)+3
bei anderen Fragen hab ich was von Ableitung gelesen, wie funktioniert die Ableitung an diesem Beispiel?
ich danke schon mal allen die mir Antworten^^
Anonym
Beste Antwort
Um Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion zu errechnen braucht man in jedem Fall die Ableitung.
Die Ableitung der Sinusfunktion sin(x) ist cos(x). In Beispielen mit einem weiteren Faktor vor dem x erscheint der Faktor dann vor der Funktion. Bsp: f(x)=sin(3x) -> f'(x)=3cos(3x)
Der Wert der Sinus/Cosinusfunktion bleibt erhalten. Das kann man sich so merken, ist durch die Kettenregel zu errechnen was aber hier zuviel wäre.
In diesem Beispiel:
f(x) = -3*sin(6)+3
f'(x) = -3*6*cos(6x) = -18*cos(6x)
Mit der Ableitung errechnet man nun die Extremstellen indem man sie gleich Null setzt.
f'(x) = -18cos(6x) = 0 | : (-18)
<=> cos(6x) = 0 | *cos^(-1)
<=> 6x = cos^(-1)(0)
...
Usw der Rest sollte machbar sein.
ossessinato
Wenn die Aufgabe lautet, dass die Extrema zu "bestimmen" oder zu "ermitteln" sind, muss man nicht unbedingt rechnen.
Kenntnisse über den Verlauf von Graphen bestimmter (relativ einfacher) Funktionen können sehr hilfreich sein.
Beispiel: quadratische Funktion y = - ½ ⋅ (x + 5)² - ¾
Gegenüber der Normalparabel ist diese Parabel an der x-Achse gespiegelt (wegen des Minuszeichens vor ½), etwas "gestaucht", weil |-½| < 1 ist, seitlich um 5 nach links(!) und um ¾ Einheiten nach unten verschoben.
Allgemeine Form wäre hier y = a ⋅ (x + c)² + d mit Scheitelpunkt S( -c | d ) usw.
So etwas gibt es auch bei trigonometrischen Funktionen: y = a ⋅ (bx + c) + d
Wäre das b nicht dort, könnte man die seitliche Verschiebung um -c direkt ablesen;
bei b≠1 müsste man es erst ausklammern: y = a ⋅ [ b ⋅ (x + c/b) ] + d
Auch hier bewirkt a eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung an der x-Achse,
der Wert "bei x" die horizontale Verschiebung und das d die vertikale Verschiebung.
Bei Deinem Beispiel ist es etwas einfacher: Typ y = a ⋅ sin(bx) + d
Du kennst bestimmt den Verlauf der "normalen" Sinusfunktion.
Dieser Graph wurde gestreckt, weil |-3| > 1 ist,
an der x-Achse gespiegelt, weil -3 < 0 ist,
um 3 nach oben verschoben, weil am Ende +3 steht.
Zur Wirkung des Parameters 6 ist das Folgende zu sagen:
Er bestimmt die "kleinste Periode", welche sich immer so errechnet: 2π/b,
hier also 2π/6 = ⅓π.
Nun bist Du in der Lage, den Graphen Deiner Funktion zu zeichnen (und die entsprechenden Maxima bzw. Minima abzulesen).
Wenn man mittels Differentialrechnung Extrempunkte berechnen möchte, braucht man tatsächlich Ableitungen.
f(x) = -3 ⋅ sin(6x) + 3
f '(x) = -3 ⋅ cos(6x) ⋅ 6 = - 18 ⋅ cos(6x)
f ''(x) = + 108 ⋅ sin(6x)
In Extrempunkten liegt die Tangente waagerecht, ihr Anstieg ist also NULL, der Wert der 1. Ableitung auch.
⇒ 0 = - 18 ⋅ cos(6x)
⇒ 0 = cos(6x)
⇒ ➀ 6x = ½π + k ⋅ 2π mit k ∈ Z ⇒ x = π/12 + k ⋅ ⅓π
⇒ ➁ 6x = 1,5π + k ⋅ 2π mit k ∈ Z ⇒ x = ¼π + k ⋅ ⅓π
Mit Hilfe der zweiten Ableitung kannst Du herausbekommen, welcher der beiden Fälle die Lage der Hochpunkte und welcher die der Tiefpunkte beschreibt.