Aufgabe zu Parametern, brauche Hilfe! Aufgabe in Details ...?

Question

Hallo,

ich muss für Mathe eine Parameteraufgabe lösen. Da wir das Thema gerade neu angefangen haben bin ich mir nicht ganz sicher wie ich diese Aufgabe weiter rechnen muss. Erstmal die Aufgabe:
Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f mit den beschriebenen Eigenschaften:
Der zur y-Achse symetrische Graph einer ganzrationalen Funktion 4-Grades geht durch P (0/2) und hat bei x=2 ein Extremum. Er berührt dort die x-Achse!


Ich hoffe jemand kann mir dabei helfen, denn ich komme nur auf 2 Gleichungen für das Gleichungssystem und das reicht nicht, ich brauche glaub ich 3 oder 4.

Ich habe bis jetzt nur e=2 aus dem Punkt P(0/2) erschlossen und aus dem Extremum bei x=2 nur f(2)=0 und als Gleichung dann 16a + 4c + e=0

Danke im Vorraus!

Wurzelgnom · Accepted Answer

Die Funktion ist 4. Grades, also zunächst mal von der Form
y = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e
Ihr Graph ist zur y-Achse symmetrisch, es ist also eine gerade Funktion, für die gilt:
Für alle x: f ( - x) = f(x)
Es kommen nur gerade Exponenten bei x vor.
y = ax^4 + cx² + e

Der Graph geht durch (0|2), also
y = ax^4 + cx² + 2

Er hat bei x = 2 ein Extremum, also wegen der Symmetrie zur y-Achse auch bei - 2.
Er berührt dort die x-Achse, das heißt in x = 2 und in x = - 2 liegt jeweils eine doppelte Nullstelle vor.
Die Faktoren (x - 2)² und ( x + 2)² müssen also im Funktionsterm enthalten sein.
y = a(x - 2)²(x + 2)²
y = a[(x - 2)(x + 2)]²
y = a(x² - 4)²
y = a(x^4 - 8x² + 16)
Für das absolute Glied e gilt also: 16a = 2, also ist a = 1/8

Dann heißt die Funktionsgleichung:
y = f(x) = 1/8 x^4 - x² + 2
Diese Gleichung erfüllt alle vorgegebenen Bedingungen:

f ( - x) = f(x), denn
1/8 ( - x)^4 - ( - x)² + 2 = 1/8 x^4 - x² + 2
f(0) = 2

f '(x) = 1/2 x³ - 2x = 1/2 x (x² - 4) = 1/2 x(x + 2)(x - 2)
Also verschwindet die 1. Ableitung bei x = 0, x = 2 und x = - 2

f ''(x) = 3/2 x² - 2
f ''(2) = 3/2 * 4 - 2 = 4 > 0
Also liegt hier ein extremum (konkret: ein Minimum) vor.

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