Hilfe bei Aufgabe mit Strahlensatz und Extremwertberechnung! Aufgabe in Details ...?

Question

Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe und komme bei einem Punkt nicht weiter. Hier die Aufgabe: Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 4,8m und einer Breite von 8m. In ihm soll ein möglichst großes quaderförmiges Zimmer eingerichtet werden.

So, hier muss man ja mit Haupt und Nebenfunktion arbeiten. Meine Hauptfunktion ist : A=x*y, x ist hierbei auf dem Boden und y geht in die Höhe. Begrenzt wird y durch die Dreieckseiten. Herauszufinden ist wo eben die Grundfläche dieses Quaders am größten ist.

Problem: Ich kann die Nebenfunktion nicht bestimmen, bzw. ergibt für mich keine einen Sinn. Man muss hier mit dem Strahlensatz arbeiten. Wenn S oben die Spitze bildet, die Punkte die an den Seiten von X entstehen oben A und B sind und unten die Außenpunkte des großen Dreiecks A' und B' sind, dann ergeben sich folgende Regeln:
A'B'/AB=SA'/SA          SA'/SA=SB'/SB

Die Strecken SA' und SB' lassen sich über Pythagoras berechnen und somit hat das Dreieck die beiden gleichen Seiten mit der Länge 6,25m!

Vorhandene Formeln also:
Hauptfunktion:A=x*y

Strahlensatz: 8m/AB=6,25m/SA und 6,25m/SA=8m/SB

Gesucht: Nebenfunktion, welche man dann in die Hauptfunktion einsetzen kann um die Zielfunktion zu erhalten.

Falls jemand mir helfen kann wäre ich sehr sehr dankbar!

ChacMool · Accepted Answer

Strahlensatz geht:

Leg den Koordinatenursprung in die Mitte der Dreiecksbasis:

dann gilt:

4/(4-x) = 4,8/y
y = 1,2(4-x)

A = x*1,2(4-x)
bzw.
A = -1,2x² + 4,8x

A´(x) = - 2,4x + 4,8 =0

==> x = 2 (halbe Grundseite)
==> y = 2,4

Den Strahlensatz brauchst du nicht zu bemühen, wenn du für eine Seite des Dreiecke eine Funktionsgleichung aufstellst. Du hast zwei Punkte P1(0/4,8) und P2(4/0). Daraus ergibt sich die Geradengleichung zu:

f(x) = - 1,2x + 4,8
Die Fläche des Rechtecks ist dann:

A = 2*(4-x)*f(x)

und du erhältst das gleiche wie oben

Das Rechteck hat die Seiten 2x = 4 und y = 2,4

Wurzelgnom · Answer

h:x = 4,8 : 4 =>
h = 1,2x

A = 2(4 - x)h
A(x) = 2(4-x)*1,2x

Das ist die Gleichung einer Parabel mit den Nullstellen 0 und 4
Ihr Scheitelpunkt (globales Maximum) liegt in der Mitte dazwischen, also x = 2
Die Breite des Zimmer s ist also 2*(4 - 2) = 4 (in m)
Die HÃ¶he ist 1,2*2 = 2,4 (in m)

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