Erste Frage: Wie erkenne ich an einem Graphen ob er zu Sinus oder zu Kosinus gehört?
Zweite Frage: Wie erstelle ich einen Graphen und wie sähe die Aufgabenstellung ungefähr aus, anhand welcher ich den Graphen erstellen muss?
Dritte Frage: Was ist die "Periodenlänge"?
Vierte Frage: Wie berechne ich den sin(x) ?
Weitere Frage: Was hat es mit dem "Einheitskreis" auf sich?
Wurzelgnom
Beste Antwort
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius r = 1
Er ist eine prima Basis, um die Winkelfunktionen auch für Winkel, die größer als 90° und kleiner als 0° sind, zu definieren.
Im rechtwinkligen Dreieck kann man Sinus, Kosinus und Tangens als Seitenverhältnis festlegen.
Sinus = Gegenkathete / Hypotenuse
Kosinus = Ankathete / Hypotenuse
Tangens = Sinus / Kosinus = Gegenkathete / Ankathete
Jetzt zeichnen wir einen Einheitskreis um den Koordinatenursprung.
Und zunächst sehen wir uns nur die Winkel im 1. Quadranten an, also die Winkel von 0 bis п/2 bzw. von 0° bis 90°
Ich nenne die Achsen jetzt mal nicht x und y, sondern u und v.
Dann habe ich den Buchstaben x für den Winkel zur Verfügung. (Wir wollen ja Winkelfunktionen betrachten, also Funktionen von den Winkeln)
Nimmst Du nun einen solchen Winkel und trägst ihn von der u-Achse aus ab, dann schneidet der freie Schenkel den Kreisbogen in einem Punkt P(u | v)
Und nun sehen wir uns das rechtwinklige Dreieck an, was entsteht, wenn Du von P aus eine Senkrechte noch unten ziehst. Die schneidet die u-Achse in P'(u | 0)
OP'P ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Bei O liegt der Winkel x, bei P' liegt der rechte Winkel.
Dann ist die Gegenkathete des Winkels die Ordinate v. Und die Ankathete des Winkels ist die Abszisse u.
Aber, was ganz prima ist - die Hypotenuse ist der Radius, der ist aber r = 1 (Einheitskreis)
Ich habe Dir dazu hier mal eine Skizze gemacht:
http://www.bilder-hochladen.net/files/9aqw-3o-jpg.html
Und wenn Du nun den Sinus willst, dann ist das Gegenkathete : Hypothenuse, also v / r = v
Du kannst also den Sinus direkt ablesen, weil die Hypotenuse = 1 ist.
Und der Kosinus ist u/r, also einfach u.
Das kannst Du auch einfach ablesen - auf der u-Achse.
Und wenn wir nun DAS als Definition nehmen , dann geht das auch in den anderen Quadranten.
Also: Winkel einzeichnen, den Schnittpunkt P auf dem Kreis finden.
Dann ist der Sinus die Ordinate v, also das Lot auf die u-Achse.
Und der Kosinus ist die Abszisse u.
Und der Tangens des Winkels ist einfach der Quotient aus Sinus und Kosinus, also v/u.
Wenn man noch die Tangente an den Kreis zeichnet, dann kann man auf ihr den Tangens sogar auch direkt ablesen. Darum heißt er auch so.
gummibärchen
Fangen wir hinten an:
> Weitere Frage: Was hat es mit dem
> "Einheitskreis" auf sich?
Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1. Dabei ist es wurscht, ob der Radius 1 Meter, 1 cm, 1 dm oder eine Handbreit groà ist. Mit dem Einheitskreis kann man die Sache mit dem Sinus und Cosinus gut erklären. Schau dir dazu dieses Bild an:
http://geisswinkler.de/stefan/wordpress/wp-content/uploads/2008/04/einheitskreis.png
Da hast du einen Kreis mit dem Radius 1 und der Radius ist eingezeichnet. Zwischen der x Achse und dem Radius gibt es einen Winkel, der ist ocker hinterlegt und ist mit α gekennzeichnet. Miss die rote Strecke ab und du erhältst den Sinus des Winkels α, wenn du die Strecke durch den Radius teilst. Hast du z.B. 1 dm als Radius gewählt, musst du auch die rote Strecke in dm messen.
Genauso ist es mit der grünen Strecke, die ist der Cosinus des Winkels.
> Wie berechne ich den sin(x) ?
Durch Abmessen im Einheitskreis oder durch Bedienen des Taschenrechners. Der sollte eine "sin" Taste haben ;)
> Was ist die "Periodenlänge"?
Drehe im Geiste mal die schwarze Strecke im Bild, den Radius gegen den Uhrzeigersinn im Kreis. Hier kannst du das sogar selber mit der Maus machen: http://www.walter-fendt.de/m14d/sincostan.htm
Du siehst, dass die Werte für sin und cos sich regelmäÃig wiederholen. Diese RegelmäÃigkeit nennt man Periodizität. Die Periodenlänge ist halt der Abstand zwischen 2 gleichen Werten. Diese Länge beträgt bei sin 2π oder 360°.
> Wie erstelle ich einen Graphen und wie sähe die Aufgabenstellung
> ungefähr aus, anhand welcher ich den Graphen erstellen muss?
Siehst du auch in der Animation, die ich dir oben verlinkt habe
> Wie erkenne ich an einem Graphen ob er zu Sinus oder zu Kosinus gehört?
Der sin beginnt bei y= 0 und der cos bei y=1
Probiere das mal in der verlinkten Animation.
GB